(más detalles al final del post)
Saludos a toda la comunidad científica y académica de Steemit, luego de varias semanas sin publicar (producto de dificultades de conectividad) nuevamente me incorporo a la actividad steemiana con el desarrollo reflexivo de una temática de mucha importancia para los cimientos de la Matemática, en este sentido, en la presente publicación se abordarán las nociones fundamentales relativas a las Leyes de Composición Interna, una conceptualización matemática que viene a aclarar muchos escenarios confusos que se han generalizado y popularizado al punto de ser aceptado por tradición. Para ello, es conveniente tener presente algo que hemos aprendido desde nuestra infancia cuando comenzamos a aprender Matemática, esto es, las operaciones matemáticas Suma, Resta, Multiplicación y División en tanto que los planteamientos a continuación versarán en aclaratorias al respecto de éstas.
Quiero resaltar, que la primera vez que estudie los saberes que se detallarán en este post, fue en el tercer semestre de mi carrera de Educación mención Matemática y a medida que el profesor explicaba sentí como si se disolvieran velos de realidad errada en mi mente, recordando como lo había aprendido en cursos preuniversitarios y experimentando una fuerte necesidad de desmontar lo anterior para apropiarme de los conocimientos de la manera correcta. Esto además me hizo pensar en la necesidad de repensar la educación en Matemática, en tanto que es común pensar que alguien no va a comprender un determinado concepto de esta ciencia por su naturaleza abstracta y es que esta forma de ver las cosas es lo que nos tiene sumergidos en la repetición recursiva de formas erróneas de enseñarla generalmente subestimando al estudiante, entonces dejamos de llamar las cosas por su nombre considerando un lenguaje elemental que pensamos pueda ser comprendido por los aprendices, perdiéndose en este absurdo proceso la formalidad de una ciencia tan importante para la vida de los seres humanos.
Adicionalmente, lo que me propongo mostrar a continuación (y lo que les he presentado en publicaciones anteriores de Matemática), en muchas oportunidades cuando trabajé en el nivel de bachillerato desde el primer año de escolaridad, lo procuré facilitar llamando las cosas por su nombre, tal como las aprendí en mis estudios universitarios y debo decir gratamente que los mitos y leyendas que aseguran que un estudiante de edad adolescente no entiende lo abstracto son totalmente falsos, en ese entonces, me di cuenta de que los que estamos mal somos los educadores al tener tantos prejuicios infundados, y probablemente por esas falsas creencias hemos sido responsables de que la juventud no se sienta llamada mayoritariamente por el estudio de la Matemática y carreras afines. En mis experiencias, muchos de los estudiantes que tuve en esas oportunidades escogieron opciones universitarias en áreas científicas afines a esta ciencia, así que el llamado es a dejar los prejuicios y confiar en que ellos son capaces de llegar lejos y alto.
Dichas estas breves reflexiones introductorias, me dispongo entonces a presentar la temática Leyes de Composición Interna cuya importancia radica en la preservación de la formalidad del lenguaje matemático y en ese sentido se hará el esfuerzo por presentar los saberes de forma detallada y descriptiva de manera tal que se garantice la adecuada comprensión y se materialice el llamado interior a dar pasos en la dirección correcta. Es de hacer notar que este material se construye con propósito didáctico y reflexivo para apoyar la enseñanza del Álgebra, subárea de gran valía en el ámbito matemático, lo cual como valor agregado hace que Steemit sea una potencial plataforma educativa para el intercambio formativo entre educadores y estudiantes de los diferentes niveles educativos. Se les invita a continuación al disfrute académico de las nociones previamente identificadas. Comencemos.
En esta parte se presentará la teoría vinculada al concepto de Leyes de Composición Interna, para lo cual recomiendo repasar como conocimiento previo la concepto de Funciones, en tanto que precisamente una ley interna es una función definida con cualidades muy particulares. Recordemos que para definir una función es necesario considerar un conjunto de partida y un conjunto de llegada en primer lugar, por lo cual para el concepto que nos ocupa debemos considerar el escenario para el recorrido como sigue:
- Conjunto de Partida: A×A=A2, Producto Cartesiano definido en un mismo conjunto A≠∅.
- Conjunto de Llegada: El conjunto A≠∅.
Ya teniendo claro el contexto procedemos a plantear la expresión matemática que define la función ley interna como sigue
Ahora bien, se puede apreciar claramente la representación gráfica y simbólica vinculada al concepto, sin embargo a manera de clarificar aún más lo allí expresado se detalla la siguiente explicación:
La función ley interna es *:A2⟶A.
Los elementos del conjunto de partida se simbolizan (a,b), es decir, son pares ordenados que pertenecen al producto cartesiano A2.
Los elementos del conjunto de llegada se obtienen mediante la expresión (a,b)= a * b
La expresión a * b (se lee a compuesto con b) es un valor numérico c∈A y se obtiene de componer las coordenadas del par ordenado (a,b).
Se entiende que se trata de una ley de composición interna porque el resultado es un elemento que pertenece al mismo conjunto no vacío A.
En resumen, se tiene que: la imagen del par ordenado (a,b) a través de la función ley interna *:A2⟶A es igual a la composición de las componentes del referido par ordenado y tal composición pertenece al conjunto no vacío A.
Ahora bien, una vez aclarada la definición de Ley de Composición Interna, es válido destacar que en ámbito matemático destacan dos de éstas en particular, las cuales son:
- Ley de Composición Interna Adición
- Ley de Composición Interna Multiplicación
Las mismas al definirlas desde la formalidad del caso general ya planteado tenemos
En atención a esta realidad, se hace necesario destacar las siguientes precisiones:
- Cuando se habla del caso general el lenguaje idóneo es asumir que los elementos involucrados se componen. Ya considerado cada caso particular el manejo semántico se adapta a cada ley de acuerdo a su naturaleza: en el caso de la ley adición lo correcto sería decir que los elementos se adicionan y en el caso de la ley multiplicación corresponde afirmar que los elementos se multiplican.
- Cuando consideramos la ley adición los elementos que intervienen en el proceso se conocen como sumandos y el resultado de la adición (es decir, composición mediante la ley adición) se le denomina suma. En este sentido, es relevante aclarar que la suma es un valor numérico por lo tanto no verifica propiedades, las cumple o no la ley interna en cuestión dependiendo del conjunto numérico donde accione.
- En cuanto a la ley multiplicación los elementos involucrados en el proceso se conocen como factores y el resultado de multiplicar dichos elementos se le denomina producto. Asimismo, de manera análoga a la ley adición es claro que el producto es un valor numérico por lo cual no verifica propiedades, como de hecho las cumple o no la ley multiplicación de acuerdo al contexto numérico donde interactúe.
En este punto se preguntarán ¿por qué no se ha hecho referencia a la resta y la división o a la sustracción y división?
Es claro que para dar respuesta a este cuestionamiento debemos seguir avanzando en la fundamentación teórica, por lo cual pasaremos a detallar las propiedades y elementos distinguidos que podría verificar una Ley de Composición Interna. Refiriéndonos al caso general tenemos lo siguiente
(más detalles al final del post)Como se puede apreciar en la imagen no aparece la propiedad de clausura o cerradura y es por el hecho de que la misma viene dada por la definición general de Ley de Composición Interna ya planteada, en la cual resulta evidente que al componer dos elementos de un conjunto no vacío A el resultado pertenece al mismo conjunto, de allí la connotación de ley interna la cual se fundamenta claramente en la clausura.
Ahora nos interesa visualizar como se representan las propiedades y elementos distinguidos en los casos particulares adición y multiplicación para lo cual es conveniente observar la siguiente representación:
Ciertamente, para los que ya han transitado por sus estudios de bachillerato la información resulta familiar, no obstante, es conveniente recalcar lo siguiente:
- El elemento neutro en la ley adición es el 0 (cero) y el mismo es único para todos los elementos del conjunto, esto es, no existe otro elemento neutro y la demostración (por Reducción al Absurdo) puede ser consultada en los textos de referencia al final del post.
- Se puede observar que los elementos simétricos en la adición se denotan (-a), es decir, utilizando un guion a la izquierda de valor numérico. Generalmente los elementos simétricos en la ley adición se denominan de forma particular como elementos opuestos. Es muy importante destacar que en los conjuntos numéricos donde existen éstos para cada elemento del conjunto, el mismo es único, esto es, un elemento cualquiera del conjunto tiene uno y sólo un elemento opuesto.
- El elemento neutro en la ley multiplicación es el 1 (uno) y al igual que en la ley adición éste es único para todos los elementos del conjunto, asimismo, esta afirmación es demostrable (consultar textos de las referencias).
- En el caso de la ley multiplicación los elementos simétricos se representan 1/a, esto es, en forma de fracción. Los mismos se denominan de forma particular como elementos inversos. De manera similar a la ley adición, se cumple la unicidad de los elementos inversos.
Es probable que se haya notado que en las diapositivas donde se muestras las propiedades y elementos distinguidos para los casos particulares que no se encuentra la propiedad distributiva, y es que por el hecho de que la misma involucra a las dos leyes internas debe representarse en una imagen separada, la cual pueden observar a continuación
(más detalles al final del post)Como puede apreciarse, la distributividad tanto a derecha como a izquierda se plantea de la ley multiplicación respecto de la ley adición, no obstante si se presentara de la adición respecto de la multiplicación bastaría con un sencillo contraejemplo para comprobar que en ese sentido no se cumple.
Algo que es importante resaltar es que las propiedades y elementos distinguidos de una ley de composición interna al estar planteadas mediante un símbolo de igualdad nos indica que las mismas son aplicables tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, esto se aclara en tanto de que generalmente cuando este saber es facilitado en las aulas de clases se acostumbra a enfatizar la aplicación de las mismas de izquierda a derecha restando importancia a su aplicabilidad en sentido contrario, esto ha hecho que a pesar de ser algo elemental en el nivel conceptual no se entienda con claridad lo que significa el símbolo de la igualdad y esto conlleva a erróneos recursos emergentes de aprendizaje que distorsionan el saber en su formalidad matemática, por ejemplo, en el caso de la distributividad se entiende muy bien cuando se aplica de izquierda a derecha pero cuando se hace en sentido contrario no se enfatiza que se trata de una operatividad propia de la propiedad distributiva y lamentablemente se termina llamando factor común.
En líneas generales, en cuanto al caso particular, sólo se puede hablar de la ley adición y la ley multiplicación con operatividades dadas por las propiedades ya planteadas, ahora bien, tenemos una pregunta pendiente y a continuación se expondrá una aclaratoria reflexiva a respecto.
Desde que tenemos uso de razón, es decir, desde que comenzamos a estudiar matemática en la escuela nos dicen y recalcan que existen cuatro (4) operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. En el mejor de los casos cuando llegamos al bachillerato, es probable que nos encontremos con algún docente del área que nos presente (aunque con el mismo enfoque tradicional) tal situación indicándonos que las operaciones son: adición, sustracción, multiplicación y división, así lo reafirmamos y en consecuencia accionamos de acuerdo a la perspectiva del que nos está formando, porque pensamos que debemos llenar las expectativas de la persona que a fin de cuenta nos va a evaluar, así que no nos queda otra opción que aprender de la manera en que nos están enseñando.
Ahora bien, ocurre que cuando se llega al nivel universitario y escogemos una carrera profesional en la cual debemos conocer con lujo de detalles la ciencia Matemática (en mi caso Educadora en Matemática) y conocemos por primera vez el maravilloso concepto de Leyes de Composición Interna nos damos cuenta de que tenemos que desaprender para aprender la realidad como debe ser, con la aspiración (fallida en muchos casos) d que seamos multiplicadores de la formalidad matemática en los diferentes contextos donde nos desenvolvamos.
Dicho esto, comencemos a hablar de la resta o sustracción con el siguiente argumento inicial, si fuera correcto hablar de estos conceptos como ley deberíamos al menos tener claro que la resta es el resultado de la sustracción y por tanto es un valor numérico. Sin embargo, ni una ni otra son leyes, veamos el por qué:
La expresión a-b que acostumbramos a reconocer como la operatividad de la sustracción por no aparecer el signo + sino el signo - si aplicamos el ya conocido convenio de notación (ver publicaciones anteriores) a-b=a+(-b) nos damos cuenta de que en realidad estamos en presencia de la ley adición, y en ese sentido lo que ocurre es que estaríamos obteniendo la suma (resultado de la adición) de un número con el opuesto del otro. Es claro, que en dicha expresión se están articulando la definición de ley de composición interna adición (clausura de la adición) con la definición de elemento opuesto anteriormente planteada, en este caso, al ejecutar la operatividad vinculada a ambas definiciones da la impresión de que un número considerado mayor reduce respecto del otro considerado menor y de allí la percepción de resta o de que al mayor se le está sustrayendo una porción. Cuando estamos en bachillerato y conocemos conjuntos numérico superiores al conjunto de los números naturales, la comprensión de este hecho se puede apoyar el la relación de orden menor que y darnos cuenta que el elemento resultante de esta operatividad es más negativo o positivo dependiendo de la regla de los signos para la adición.
En cuanto a la división ocurre un hecho similar, salvo que en este caso se deben tener presentes las definiciones de ley de composición interna multiplicación (clausura de la multiplicación) y la de elemento inverso, por cuanto lo que ocurre es una operatividad vinculada a las mismas, a pesar de que en la expresión aparezca el signo ÷ que tradicionalmente identifica a la división, lo que realmente ocurre es una multiplicación de un número por el inverso de otro, hecho que se puede visualizar simbólicamente como sigue:
La expresión a÷b se acostumbra a representar por a/b y por eso se piensa que a (numerador o dividendo) se divide o parte tantas veces en porciones exactas como indica b (denominador o divisor), no obstante por el convenio de notación (ver publicaciones anteriores) a/b=a.1/b nos damos cuenta de que efectivamente se trata de una multiplicación con una operatividad articulada con las definiciones antes mencionadas.
Adicionalmente, es de hacer notar que si bien en los textos de bachillerato (en los universitarios de Álgebra Abstracta se aclara muy bien) se plantean propiedades para las leyes adición y multiplicación no aparecen propiedades para la sustracción y división, eso debería darnos la primera pista de claridad aunque oportunamente no se enfatiza en eso en el referido nivel educativo. Por otro lado, en el ámbito universitario se puede evidenciar que lo expuesto se aprende con tal rigor en las asignaturas relacionadas con el Álgebra Abstracta desde los primeros semestres de la carrera, sin embargo, algo ocurre cuando debe transferirse este saber en las demás subáreas de la Matemática, por cuanto en mi experiencia he observado que no se procura profundizar al respecto, hecho que mantiene de cierta forma aisladas las diferentes subáreas cuando se trata de una sola ciencia.
La presentación de este saber matemático de una perspectiva detallada y reflexiva es una oportunidad para brindar un espacio de intercambio para la toma de conciencia por parte de los actores educativos en la vía de generar transformaciones necesarias a la manera en la cual estamos facilitando los conocimientos de esta importante ciencia. En este sentido, es menester en primer lugar desaprender las tradicionales formas de enseñanza y apropiarse de una visión acompañada de métodos y estrategias que permitan dar a conocer la misma desde su formalidad, y a pesar de que es válida la premisa de que el mismo debe adecuarse a la edad de los estudiantes, también es cierto de que debemos dejar de subestimarlos creyendo que debemos simplificar (y hasta banalizar) el saber compartido con la excusa de que éstos lo comprendan en operatividad sacrificando en este proceso la esencia y valor teórico inherente al mismo.
Debo destacar que en la oportunidad que tuve de educar Matemática en bachillerato tuve por costumbre ser minuciosa y llamar a las cosas por su nombre, en el caso de las operaciones matemáticas era difícil seguir en lo tradicional sin hablarles de las leyes de composición interna y sus expresiones algebraicas tal como son, aclarando que se tienen las leyes adición y multiplicación con operatividades vinculadas a las propiedades y elementos distinguidos presentados en esta publicación. En el caso de las operatividades tradicionales sustracción y división se les explicó en detalle que las mismas no son leyes sino operatividades que provienen de la articulación entre las definiciones de ley interna (clausura) y elementos simétricos (particularizados en cada caso como se explicó en este post. Los resultados académicos fueron sorprendentes obteniendo en una mayoría notable muy buenos resultados de aprobación y comprensión de los conceptos facilitados, lo que eventualmente fue motivación para muchos para optar por carreras universitarias en Matemática y afines.
En el caso de los estudiantes universitarios, facilitando distintas asignaturas de la carrera de educación mención Matemática, se procuró siempre la integración de saberes de las diferentes subáreas que la conforman, esto sin duda garantiza un comprensión más profunda de la misma. Estos aprendices, por cursar adecuadamente las asignaturas relacionadas con el Álgebra Abstracta les resultó más sencillo entender lo referido a la visión tradicional de las operaciones matemáticas.
En las próximas publicaciones, seguiremos explorando otros saberes matemáticos desde la postura educativa y reflexiva, saludos y éxitos para todos los lectores y académicos de esta comunidad.
Referencia
Rojo, A. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.
Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.
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