Pensamiento Matemático Avanzado (PMA)

Los diversos objetos existentes en el campo de la matemática se perciben desde diferentes perspectivas y se han venido estudiando a través de los años desde la antigüedad, la teoría del pensamiento matemático avanzado es una teoría que he desarrollado en mi tesis de maestría y que quiero compartir con ustedes pues para mí ha sido una herramienta de investigación muy útil.

Esta es una teoría que ha sido desarrollada según Valdivé y Garbin (2008) por Tall (1991, 1992, 1995, 2001, 2004, 2005) y Dreyfus (1990) los cuales han elaborado una teoría cognitiva con relación al desarrollo y crecimiento del Pensamiento Matemático Avanzado, basada en aportaciones de la psicología cognitiva (fundamentalmente de Piaget y Bruner), que muestra cuáles son las condiciones para ir del Pensamiento Matemático Elemental al Avanzado. Por otra parte Tall (2005) afirma que este paso implica una transición significativa que requiere una reconstrucción cognitiva. Esta reconstrucción supone, por un lado, el paso de “descubrir” a “definir”, y por otro, el paso de “convencer” a “demostrar”.

Según Calvo (citado por Fernández y Valdivé, 2006) los conceptos que se tratan en la matemática avanzada son productos de la evolución de los conceptos tratados en la matemática elemental. En cuanto a los procesos de pensamiento que intervienen, básicamente, son los mismos a saber: abstracciones, análisis, categorizaciones, conjeturas, definiciones, formalizaciones y demostraciones pero lo que varía es el uso y frecuencia de la abstracción.

Tall (1991) expone que “el PMA es una teoría cognitiva que busca describir la naturaleza del conocimiento matemático, así como también, los procesos cognitivos que emplea el estudiante para el aprendizaje de algún conocimiento matemático” (p. 5). ). Por su parte Valdivé (Citado por Sánchez, Ob. Cit.) sostiene lo siguiente:

Según Tall (2013) el pensamiento matemático utiliza los mismos recursos mentales con los que se cuenta para pensar de manera general. Su base es la estimulación de conexiones entre las neuronas en el cerebro.

A medida que se estimulan estas conexiones, cambian bioquímicamente y, con el tiempo, los vínculos bien utilizados producen procesos más estructurados y conocimiento conectado ampliamente con el pensamiento. La consolidación de los vínculos útiles entre las neuronas ofrece nuevos e inmediatos cambios en el pensamiento. De manera que el desarrollo a largo plazo del pensamiento matemático no es la adición acumulativa de experiencias sujetas a un conocimiento fijo sino una reconstrucción continua de conexiones mentales que evolucionan a través del tiempo para construir cada vez estructuras más sofisticadas de conocimiento (Tall, 2013, p.3).

El pensamiento matemático comienza con la percepción sensomotriz (reconocimiento del espacio, formas, números) y acción humana (cálculos y manipulaciones simbólicas) y es desarrollado a través del lenguaje y el simbolismo. El lenguaje y el reconocimiento de similitudes y diferencias en lo que observamos nos permiten categorizar objetos y fenómenos, darles nombres, hablar de ellos y perfeccionar su significado, para comprimir el conocimiento en conceptos pensables que podemos utilizar para construir estructuras más sofisticadas de conocimiento.

El lenguaje y la repetición de cálculos y manipulaciones simbólicas permiten adquirir la habilidad de dar nombre a un proceso para encapsularlo como un concepto pensable que puede ser manipulado mentalmente (Tall, 2013). Así, el proceso que es realizado como una secuencia de acciones en el tiempo, se comprime en una sola entidad que puede operar en un nivel más alto de pensamiento. El camino para desarrollar un fuerte pensamiento matemático involucra comprimir el conocimiento en conceptos pensables y conectarlos en estructuras de conocimiento. Con el tiempo los seres humanos construyen estructuras cada vez más complejas de conocimiento en base a sus experiencias.

Tall (2013) afirma que este desarrollo, en general, se basa en tres atributos humanos fundamentales: entrada a través de los sentidos, que reconoce las propiedades de los objetos, salida a través de las acciones, que se convierten en operaciones de rutina, y el lenguaje (junto con el simbolismo), que se apoya de ambos, para desarrollar cada vez más sofisticadas formas de pensar sobre las ideas matemáticas (p. 9-10).

Además Tall (2013) afirma que el proceso que se lleva a cabo desde los primeros años del niño, se encuentra con tres formas distintas de conocimiento, la geometría que estudia los objetos y sus propiedades. Una segunda forma de conocimiento surge de las acciones que se formulan utilizando el simbolismo y una tercera considerada como el nivel más alto, que consiste en la definición formal de sistemas de axiomáticos y la deducción de las propiedades de una prueba matemática. Indica que “las dos primeras se desarrollan durante la educación primaria y secundaria, la última serán las matemáticas puras encontradas en la universidad” (p.5).

Estas tres formas de conocimiento se conjugan con tres mundos de las matemáticas propuestos por Tall (2013), los cuales se denominan matemática práctica, matemática teórica y matemática formal (“formal” para referirse al "formalismo" en matemáticas, en base a las definiciones y las deducciones de la teoría de conjuntos). Las transiciones de un mundo a otro combinan aspectos de ambos mundos. Por ejemplo, el cambio de la forma de realización de simbolismo implica acciones encarnadas en los objetos, como contar, que conducen a conceptos simbólicos, como el número (p. 15-16).

Dentro de la teoría de PMA se desarrolla el estudio de los esquemas conceptuales y la definición de un concepto, como herramientas de investigación.

En las últimas tres décadas se han estudiado la adquisición de ciertos conceptos matemáticos específicos en matemáticas avanzadas. Al hacerlo, ciertos investigadores centran su atención sobre las imágenes mentales que los estudiantes evocan y que entran en conflicto con las definiciones aceptadas por los matemáticos (Cornú, 1981; Vinner y Herschkowitz, 1980, Valdivé y Garbin 2013).

Inicialmente, se describe el esquema conceptual que tiene el alumno de un concepto matemático como toda la estructura cognitiva asociada al concepto, la cual incluye todas las imágenes mentales, las propiedades y los procesos asociados a la noción matemática (Garbin, 2005, Valdivé y Garbin, 2013).

Para Vinner (citado por Sánchez; 2010) un esquema conceptual (concept image) es algo no verbal asociado en nuestra mente con el nombre del concepto. Puede ser una representación visual del concepto, en caso de que el concepto tenga alguna representación visual, también puede ser una colección de impresiones o experiencias (p. 12).

Este constructo ha ido matizándose y caracterizándose de diferentes formas a través de investigaciones empíricas (Tall (2001, 2004, 2005); Pinto y Tall (2001); Przenioslo (2004, 2005); Chin y Tall (2001); Chae y Tall (2005); Watson, Spyrou y Tall (2004), Watson y Tall (2002), Garbin (2005), Valdivé (2008) y Valdivé y Garbin (2008, 2010,2013)).

De acuerdo con Valdivé y Garbin (2008,2013), existen dos tipos de esquemas conceptuales, los cognitivos y los epistemológicos. Los esquemas conceptuales en su acepción cognitiva son los conocimientos que el estudiante o sujeto evoca sobre un concepto específico y que son factibles a la investigación didáctica para simbolizar y describir cada concepto que el individuo conoce (p.419).Según las autoras (ob. Cit.), estos esquemas demandan labores, circunstancias y problemas que los hacen emerger, las cuales se deben categorizar en el esquema conceptual de acuerdo a los siguientes aspectos:

1. Las ideas que asocia el sujeto al concepto

2. Las representaciones asociadas que hacen emerger la noción y representaciones propias de esta.

Ambas son imágenes (dibujos, gráficas, palabras, símbolos) que el sujeto percibe del objeto o concepto y que evoca ante una situación problema o tarea.

3. Los procedimientos (algorítmicos, aritméticos, algebraicos, geométricos, manipulaciones simbólicas) que el sujeto activa ante la tarea cognitiva.

4. Las ideas más representativas asociadas al objeto matemático.

5. El contexto (geométrico, analítico, algebraico, aritmético o físico, no técnico) que el sujeto asocia ante la situación.

6. Los ejemplos y contraejemplos que el sujeto implementa para explicitar sus ideas.

El esquema conceptual en su carácter epistemológico según Valdivé y Garbin (2008, 2013), puede referirse a la evolución histórica de los conceptos matemáticos o a los tipos de conocimientos asociados a la noción matemática, así como también a las representaciones, los procedimientos y ejemplos que los matemáticos usaron para resolver una situación en un cierto contexto específico. Elementos estos que existen en un cierto período histórico y que fueron aceptados por una comunidad matemática en ese período de tiempo y en ese escenario particular.

Además, Chin y Tall (citado por Valdivé y Garbin; 2008) explican que en las investigaciones actuales, se observa que se establece una diferencia entre el esquema conceptual previo, met-before y un esquema conceptual. El met-before se considera asociado a los conocimientos o experiencia previa y que es evocada para darle sentido a una situación. Asimismo, en concordancia con lo anterior, Valdivé (2008, p. 459) clasifica a los estudiantes:

Estudiante informal es aquel que utiliza lenguaje natural, representaciones e ideas intuitivas para justificar la mayoría de sus respuestas.

Estudiante formal , es aquel que apela a definiciones y teoremas matemáticos correctamente sin usar representaciones, lenguajes naturales o intuiciones en la mayoría de sus respuestas.

De acuerdo a Tall y Vinner, (1981), la definición de un concepto es una secuencia de palabras o una definición verbal que explica el concepto con precisión. Además que es posible distinguir entre la definiciones formales, aceptadas por la comunidad científica de los matemáticos, y las definiciones personales que se utilizan como construcción de una definición formal. Para Valdivé (2008) la definición de un concepto es una secuencia de palabras o símbolos. Es decir, que un estudiante puede tener una definición informal o formal de un concepto matemático, ambos valederos. Pero, la distinción de un concepto matemático, no ha sido tarea fácil ni para los matemáticos, ni para los estudiantes en su necesidad de entendernos (Sánchez, 2010).

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Yaribel Carolina Camacaro Canelón, venezolana, egresada de la Universidad Centroccidental “Lisando Alvarado” (UCLA) en la ciudad de Barquisimeto, estado Lara, donde obtuvo el Título de Licenciada en Ciencias Matemáticas en el año 2004. Es aspirante al Título de Magister en Matemática, mención: Enseñanza de la Matemática, la cual es un convenio interinstitucional de las universidades UCLA-UPEL-UNEXPO en Barquisimeto. Labora en la Unidad Educativa Colegio Fe y Alegría “Juan XXIII” ubicado en el Barrio La Pastora de la ciudad de Barquisimeto, Edo. Lara, ejerciendo funciones de docente por hora de las asignaturas Matemática, Física, Orientación y convivencia y Tecnología.