Bienvenidos y saludos a todos. En esta ocasión abordaremos ciertos problemas relacionados con la representación de rectas en la doble proyección ortogonal (DPO). Estos son algunos de los problemas comunes que se encuentran durante el estudio de la Geometría Descriptiva y son parte esencial para alcanzar un adecuado desarrollo de la comprensión espacial a partir de la DPO, ya que no debemos olvidar el objetivo de esta materia: describir en el plano los objetos que están en el espacio.
Uno de los problemas básicos de la Geometría Descriptiva es conocer el verdadero tamaño de una recta a partir de sus proyecciones en los planos vertical y horizontal de la DPO. Otro problema de mayor complejidad, es construir una recta en la DPO a partir de los ángulos conocidos con cada uno de los planos de proyección, sabiendo que dicha recta pasa por un punto dado. Estos problemas pueden ser resueltos a través de triángulos de rebatimiento tal como veremos más adelante.
Por otro lado, representar un par de rectas en la DPO a partir de sus coordenadas espaciales consta simplemente de graficar un par de puntos de cada una de ellas y trazarlas, pero puede surgir las interrogantes: ¿Estas rectas se cortan? ¿Cuál es la posición relativa entre ellas? Reconocer la posición relativa entre dos o más rectas a partir de la DPO es de suma importancia para un buen desempeño en problemas más complejos.
Verdadero tamaño de una recta
Son conocidas las proyecciones horizontal y vertical de una recta, representada a partir de dos puntos “A” y “B” con sus coordenadas dadas (Figura N°1).
Podemos observar que en la DPO no podemos determinar directamente su verdadero tamaño, sino que vemos el tamaño de sus proyecciones en horizontal y en vertical. En el espacio podemos observar lo siguiente (Figura N°2).
Podemos generar un triángulo de rebatimiento el cual es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el verdadero tamaño del segmento AB de la recta, sus catetos son la proyección horizontal de dicha recta y la diferencia de cotas entre dichos puntos en la proyección vertical. Podemos “mover” este triángulo verticalmente hacia la proyección horizontal y posteriormente rebatirlo, es decir, girarlo hasta que sea coplanar al plano horizontal. De esta manera, hemos representado su verdadero tamaño en la proyección horizontal (Figura N°3).
Entonces lo que hemos hecho en este caso es tomar la diferencia de cotas entre los puntos “A” y “B” y ubicarla sobre una recta perpendicular a la proyección horizontal de la recta en uno de sus extremos. Posteriormente, la hipotenusa resulta ser el verdadero tamaño del segmento AB.
De forma análoga, se pudo haber hecho lo mismo con la proyección vertical, es decir, tomar la diferencia de vuelo entre dichos puntos en proyección horizontal y crear un triángulo sobre la proyección vertical de dicha recta (Figura N°4).
Ambos procedimientos llegan al mismo resultado: el verdadero tamaño del segmento AB. Existe un detalle importante que debe notarse: el verdadero tamaño de una recta se representa siempre mediante líneas discontinuas con puntos.
Construcción de una recta conocidos los ángulos que forma respecto a los planos de proyección
Este problema se basa construir una recta que pase por un determinado punto y que además forme determinados ángulos “α” y “β” con los planos horizontal y vertical de proyección respectivamente. Dichos ángulos son los representados en la Figura N°5.
Este problema surge debido a que los ángulos que se observan en el espacio no gozan de propiedad proyectiva en los planos de proyección, por lo que debemos trabajar con los segmentos rectos que conforman estos ángulos para llegar a la solución. A través del triángulo de rebatimiento podemos obtener información que nos ayuda a construir la recta requerida en la DPO. En este caso, el triángulo de rebatimiento no es más que una herramienta que nos permite obtener a través de los ángulos “α” y “β” ya conocidos y un segmento de recta dado, las diferencias de vuelo y de cota que tendrían los puntos extremos de dicho segmento en el espacio (Figura N°6).
Hay que notar algo importante sobre el triángulo de rebatimiento, puesto que debemos relacionarlo directamente con lo que sucede en el espacio. Por ejemplo, en la recta de la Figura N°6, la diferencia de cota ΔZ se encuentra opuesta al ángulo “α”, mientras que la diferencia de vuelo ΔY está opuesta al ángulo “β”. Esto también es reflejado en el triángulo de rebatimiento. Con respecto a las proyecciones de dicha recta, las mismas se encuentran adyacentes a dichos ángulos. Tomar en cuenta la condición de que la suma de ambos ángulos “α” y “β” debe de ser igual o menor a 90° e igual o mayor a 180°, de lo contrario, no se podrá efectuar el procedimiento del triángulo de rebatimiento.
Conociendo un determinado punto “A” por sus proyecciones horizontal y vertical, y los ángulos “α” y “β” que la recta a construir forma con los planos de proyección, procederemos de la siguiente manera. Primero, fijamos un verdadero tamaño arbitrario que va desde el punto “A” hasta otro punto “B”. Posteriormente reflejamos los ángulos “α” y “β” conocidos (por ejemplo, α=20° y β=60°) sobre un extremo del segmento AB. De esta manera obtenemos los triángulos de rebatimiento (Figura N°7).
Una vez obtenido el triángulo de rebatimiento para cada ángulo, ya tenemos información suficiente para construir la recta en la DPO. Primero vamos a trazar circunferencias de radio igual al cateto adyacente al ángulo conocido de los triángulos de rebatimiento. Estas circunferencias determinan el lugar geométrico de las posibles ubicaciones del punto B en la DPO y en el espacio (Figura N°8).
Sin embargo, tenemos infinitas soluciones para la ubicación del punto “B”, por lo que recurrimos a las diferencias de cota y de vuelo obtenidas del triángulo de rebatimiento. Conocidas las proyecciones horizontal y vertical del punto “A”, el punto “B” debe de encontrarse más arriba o más abajo de “A” de acuerdo a la magnitud de ΔZ. De igual manera, conocida la diferencia de vuelo ΔY, el punto “B” se encontrará atrás o delante del punto “A”. De esta manera, obtendremos cuatro (4) soluciones (Figura N°9).
Seguramente en problemas particulares, requeriremos de alguna solución específica, por ejemplo, la solución que descienda hacia la derecha y al mismo tiempo se acerque al plano frontal. En ese caso, la solución requiere escoger el par de proyecciones de “B” que satisfagan estos requerimientos (Figura N°10).
Este problema también puede presentarse si se conoce solo uno de los ángulos respecto a alguno de los planos de proyección y una de las proyecciones de la recta AB. Por colocar un ejemplo, si queremos construir una recta que pase por un punto “A” dado, conocemos la proyección horizontal de una recta en la DPO y conocemos el ángulo “α” que forma con el plano horizontal, basta con construir el triángulo de rebatimiento y trazar la diferencia de cota superior e inferior al punto “A” conocido en su proyección vertical.
Posición relativa de dos rectas en la Doble Proyección Ortogonal
Dos rectas en el espacio que son paralelas nunca se cortarán, por lo tanto, en la DPO ambas proyecciones de dichas rectas serán paralelas. Entonces simplemente podemos decir que cuando dos rectas son paralelas entre sí, sus proyecciones horizontal y vertical también lo serán.
Cuando dos rectas en el espacio no son paralelas, podemos determinar si se cortan o no mediante una inspección visual. Sin embargo, en la DPO podríamos notar que ambas proyecciones se cortan. Determinar si se cortan o se cruzan ambas rectas a partir de la DPO consiste en verificar si los puntos de corte en ambas proyecciones se encuentran sobre la misma línea de referencia. De verificarse lo anterior, ambas rectas comparten un punto en común, por lo que se cortan. En caso de cruzarse, ambas rectas no comparten ningún punto en común, por consiguiente, el punto de corte de sus proyecciones no está sobre la misma línea de referencia. En la Figura N°11 se muestra el caso de dos rectas “a” y “b” que se cortan y el caso en que se cruzan (que no se cortan).
Un par de rectas que se cortan o que son paralelas pueden conformar un plano ya que ambas serían coplanares a este. De igual forma, un punto y una recta que no pase por este punto pueden generar también un plano. En la siguiente publicación abordaremos los planos, sus propiedades y su representación en la doble proyección ortogonal. Hasta la próxima.
Aportes de esta publicación
Se aporta material didáctico que nos muestra como abordar problemas típicos de rectas representadas por medio de la doble proyección ortogonal a través de ilustraciones que abarquen la situación tanto en tres dimensiones como en el plano, y que además brindan un enfoque desglosado de la resolución de estos problemas para una comprensión efectiva de la doble proyección ortogonal en la Geometría Descriptiva.
Referencias Bibliográficas
•Osers et al (2012). Estudio de Geometría Descriptiva (14va Edición). Editorial Torino. Caracas.Fuente para consulta (doceava edición)
Material recomendado
•Di Pietro, Donato (1985). Geometría Descriptiva. Editorial Alsina. Buenos Aires.
•Izquierdo Asensi, F (1957). Geometría Descriptiva. Editorial Paraninfo. Madrid.
Imágenes de autoría propia, realizadas mediante el programa SketchUp 8 y posteriormente editadas con Microsoft PowerPoint.
Ing. Angel Contreras