Saludos a todos estimados lectores de este blog. Prosiguiendo con el tema de los planos en Geometría Descriptiva, abordaremos en esta publicación las rectas características del plano, las cuales son primordiales en el estudio de esta asignatura, ya que sirven de herramienta para la construcción y solución de problemas comunes en la Geometría Descriptiva (por ejemplo, encontrar la recta de máxima pendiente de un plano). A través del programa SketchUp se logran obtener vistas en tres dimensiones de los planos y sus rectas características, de manera que su interpretación sea más efectiva por parte del lector interesado en el tema, por lo que, a lo largo de esta serie de publicaciones, el uso de esta herramienta computacional será de gran utilidad para complementar e interpretar la representación de objetos en la Doble Proyección Ortogonal (DPO).
Rectas horizontal y frontal del plano
De la publicación anterior, sabemos que deben cumplirse tres condiciones geométricas básicas para generar un plano en el espacio, por ejemplo, tres puntos no colineales o dos rectas que se cortan. Por otro lado, dentro de un plano ya definido en el espacio, existen infinitos puntos y rectas coplanares entre sí, y algunas de estas rectas nos sirven de herramienta o referencia para ejecutar ciertos procedimientos útiles en la resolución de problemas geométricos en la DPO. Al existir infinitas rectas dentro de los planos, podemos utilizar de él las que nos sirvan de mayor utilidad para la resolución de dichos problemas. De aquí surgen las rectas características del plano: la recta horizontal “h” y la recta frontal “v”.
La recta horizontal del plano “h” es una recta contenida en el mismo cuya cota es constante (cota: coordenada ”Z” en el espacio), siendo esta paralela al plano de proyección horizontal. Cuando representamos esto en el espacio y también en la Doble Proyección Ortogonal (DPO), podemos observar que la proyección vertical de esta recta característica es totalmente horizontal (paralela a la línea de tierra o eje “X”), ya que es la vista de la misma desde el punto de vista de un observador situado en el infinito perpendicular al plano vertical de proyección (o plano frontal) (Fig. N°1).
La recta frontal del plano “f” análoga a la recta horizontal, solo que en este caso el vuelo es constante mientras que la cota es variable, ya que es paralela el plano frontal. Recordemos que el vuelo es la distancia de un objeto al plano vertical de proyección (coordenada “Y” en el espacio). Por lo tanto, en la DPO, la proyección horizontal de esta recta es paralela a la línea de tierra, mientras que su proyección vertical posee cierta inclinación (Fig. N°2).
Las rectas horizontal y vertical definidas en las Figuras N°1 y N°2 se han trazado arbitrariamente, puesto que dentro de un plano existen infinitas rectas horizontales paralelas entre sí e infinitas rectas frontales paralelas entre sí, y nosotros podemos trazar las que más nos convengan.
Al ser estas rectas características coplanares entre sí, deben de cortarse en algún punto dentro del mismo plano. Es por ello que, en la DPO, el punto de corte se sitúa siempre sobre la misma línea de referencia vertical (Fig. N°3).
Ya que podemos definir un plano en el espacio mediante dos rectas que se cortan, es posible generar un plano mediante las rectas características de este, ya que estas se cortan en algún punto (Fig. N°4).
Trazas del plano, caso particular de las rectas características
Podemos definir las trazas del plano como la intersección del mismo con los planos de proyección (horizontal, frontal y lateral). Un plano bien puede ser definido por tres puntos dados, pero el mismo va a extenderse hasta el infinito y en el camino va a interceptarse con los planos de proyección. La intercepción de un plano con otro plano genera una recta, por lo que las trazas del plano son simplemente rectas pertenecientes al mismo y también a los planos de proyección (Fig. N°5).
La traza horizontal del plano, no es más que una recta horizontal “h” del plano que tiene cota igual a cero. Lo mismo sucede con la traza vertical o frontal “v”, la cual posee vuelo de nula magnitud. Pero ¿Cómo se determinan las trazas de un plano dado en la Doble Proyección Ortogonal (DPO)?
Supongamos que conocemos un plano definido por dos rectas “a” y “b” paralelas entre sí (Fig. N°6).
Dichas rectas se extienden hasta el infinito y en algún punto deben de cortarse con los planos de proyección horizontal y frontal. La solución entonces es extender dichas rectas hasta cortar con estos planos de proyección,
Para determinar la traza horizontal, vamos a extender la proyección vertical de las rectas “a” y “b” hasta cortar la línea de tierra. El punto de corte de cada recta con la línea de tierra se extiende hacia abajo mediante líneas de referencia verticales hasta cortar con las proyecciones horizontales de cada recta. Vamos a obtener dos puntos a través de los cuales pasa la traza horizontal (Fig. N°7).
Esto puede ser confuso si solo nos refererimos a los procedimientos realizados en la DPO, pero si observamos al mismo tiempo lo que sucede en el espacio lo que se está haciendo resulta más lógico y comprensible (Fig. N°8).
Para determinar la traza vertical se hace exactamente lo mismo, pero extendiendo hasta la línea de tierra las proyecciones horizontales de las rectas “a” y “b” (Fig. N°9).
Ambas trazas son rectas pertenecientes al plano, por lo que deben de cortarse en algún punto, el cual estará sobre la línea de tierra ya que las trazas se encuentran también sobre los planos de proyección (Fig. N°10).
Planos en posiciones particulares dados por sus trazas
De acuerdo a la disposición de las trazas de un plano, podemos caracterizar la posición del mismo en el espacio. Por ejemplo, un plano cualquiera en el espacio tendrá una disposición similar a la de la Fig. N°10, ya que se interceptará con los planos de proyección generando el típico triángulo formado por las trazas horizontal y frontal. Sin embargo, existen posiciones particulares de los planos cuya denominación no debe pasarse por alto.
Un plano de canto o de punta, es un plano que es paralelo al eje “Y”. Por esta razón, su traza horizontal se observa totalmente vertical en la DPO (Fig. N°11).
Un plano horizontal es paralelo al plano horizontal de proyección. Mientras que el plano vertical es perpendicular al plano horizontal de proyección (Fig. N°12). Se puede observar que la traza horizontal “h” no existe en el caso del plano horizontal, ya que su intersección con el plano horizontal de proyección se da en el infinito.
Un plano frontal es paralelo al plano vertical de proyección, el plano de perfil es perpendicular a este (Fig. N°13). No existe traza frontal “f” para este plano, ya que es paralelo al plano frontal o vertical de proyección.
El plano paralelo a la línea de tierra es aquel cuyas trazas son totalmente horizontales al momento de representarlo en la DPO (Fig. N°14).
Mientras que el plano que pasa por la línea de tierra es aquel donde tanto la traza vertical como la horizontal coinciden en la misma línea de tierra, de manera que es necesario conocer alguna condición adicional para determinar con exactitud el lugar geométrico de este plano, por ejemplo, un punto situado en el mismo que no coincida con la línea de tierra, ya que en la DPO sus trazas coinciden, brindando información nula sobre la inclinación de este plano respecto a los planos de proyección (Fig. N°15).
De esta manera, hemos definido los planos en posiciones particulares de acuerdo a sus rectas características “h” y “v”. En la próxima publicación se abordará el tema de la intersección de los planos con rectas y a su vez con otros planos.
Aportes de esta publicación
Los planos son elementos esenciales para conformar objetos en el espacio y su representación en doble proyección ortogonal es complementada mediante rectas características que sirven de herramienta para encontrar la solución en problemas geométricos relacionados a estos, de manera que mediante vistas tridimensionales de la situación se logre desarrollar la comprensión espacial y la representación de objetos del espacio en el plano.
Referencias Bibliográficas
•Osers et al. (2012). Estudio de Geometría Descriptiva (14va Edición). Editorial Torino. Caracas.Fuente para consulta (doceava edición)
Material recomendado
•Di Pietro, Donato (1985). Geometría Descriptiva. Editorial Alsina. Buenos Aires.
•Izquierdo Asensi, F (1957). Geometría Descriptiva. Editorial Paraninfo. Madrid.
Imágenes de autoría propia, realizadas mediante el programa SketchUp 8 y posteriormente editadas con Microsoft PowerPoint.
Ing. Angel Contreras