DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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Por fin ya puedo compartir otra publicación con ustedes, y he elegido como tema aplicar el concepto de diferencial de una función en un punto, en la resolución de problemas relativos a la geometría, física y electricidad para los que se requiere una aproximación de una determinada variable, error absoluto, relativo y porcentual.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea una función real de una variable real. Si es derivable en el punto “”, existe entonces el límite,

(1)

Ahora bien, la expresión (1) puede escribirse equivalentemente de la forma,

(2)

o también,

(3)

Nótese que para que el límite (3) sea igual a cero, el numerador debe tender a cero mucho más rápidamente que el denominador, y esto nos dice que para valores “muy pequeños” de “ ”, la cantidad debe ser aproximadamente igual a cero. Expresaremos esto último escribiendo,

(4)

o lo que es lo mismo,

(5)

Para un valor fijo de “” en el dominio de la función, la cantidad , es una función de la variable “” y esto nos conduce a la siguiente definición:
DEFINICIÓN: Si es una función derivable en un punto “” de su dominio, se define el diferencial de en “a”, que denotamos por como la función,

:

definida por,

(6)

Para una función derivable en todo punto de su dominio, podemos escribir:

(7)

y valores “muy pequeños de “h”.
En la literatura clásica, en lugar de “h” se empleaba , para referirse a un pequeño incremento dado a la variable independiente “x” y la (7) aparece como:

(8)

El primer miembro, es decir, el incremento que se ocasiona en la variable dependiente al pasar de “x” a “x+x ”, era denotado por y en la literatura clásica y por ello la (8), también es presentada como:

(9)

Más formalmente, si en la (7) usamos la notación,

entonces podemos rescribirla como:

(10)

para f derivable en “x” y “h” “muy pequeño”.

La notación en (10) es muy recargada y so pena de perder rigor, pero teniendo claro el contexto, abreviamos la escritura poniendo:

(donde: y ).

Para la función identidad sobre los reales, esto es, la función: tal que,

queda claro que su diferencial en cualquier punto, es la propia función identidad (por ser su derivada la función constante igual a 1), es decir, para

ya que para cualquier se verifica que:

Usando pues ese resultado, de que para la función identidad (), resulta , denotaremos también por “d_x_” la función identidad sobre los reales. En ese contexto, para cualquier función f derivable en un punto “x” de su dominio, podemos escribir:

de modo que,

(11)

o en el lenguaje de los clásicos:

(12)

para una función y que por otra parte, pretende justificar la notación de Leibnitz al escribir:

Muy a menudo deseamos calcular o estimar dentro de márgenes seguros, el cambio en el valor de una función causado por un pequeño cambio en el valor de la variable independiente. Como se observó anteriormente, cuando “h” es “pequeño”, y son en general, cercanamente iguales y en muchos casos el valor de provee una aproximación suficientemente buena al valor de

En cualquier cómputo aproximado, la cantidad en que difieren el valor computado de la función, del verdadero valor, se llama el error del cómputo. Así pues, si calculo cuando lo que verdaderamente deseo calcular es entonces, el error cometido en el cómputo es:

Al valor absoluto,

lo llamaremos el error absoluto, y, al cociente,

lo llamaremos, el error relativo.

Al porcentaje,

%

lo referimos como el error porcentual.