Geometría analítica y Cinemática (Parte XV)

Continuamos con la temática geometría aquella que enlazada al extraordinario lenguaje abstracto del álgebra consolidan el esencial carácter analítico de las matemáticas, primordial característica utilizada para el análisis del fundamental nexo entre la majestuosa ciencia física y las indispensables matemáticas. Podemos seguir expresando abiertamente que con cada uno de los análisis realizados con anterioridad el grandioso campo de la ciencia nos ha brindado todas y cada una de las herramientas necesarias para poder forjar el entendimiento sobre cualquier tipo de fenómeno que suceda en nuestro entorno, siendo un fidedigno ejemplo el imponente fenómeno del movimiento descrito principalmente a través de la cinemática y la geometría analítica.

Poder describir de manera general cualquier tipo de movilidad entre nosotros ha sido el propósito principal de cada uno de los artículos antes desarrollados debido al gran impacto del referido fenómeno en nuestras vidas, y hasta ahora podemos mencionar los movimientos analizados tales como: el movimiento circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, rectilíneo-curvilíneo, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio, caótico, armónico complejo, armónico forzado amortiguado, movimiento cicloidal, movimiento epicicloidal, movimiento hipocicloidal, otros fenómenos de movilidad intrínseca tal como el movimiento periódico el cual a su vez se considera un fundamental aspecto del extraordinario movimiento armónico simple (M.A.S.), representando este último un vital modelo entre los fenómenos oscilatorios, resaltando siempre que cualquier partícula, cuerpo u objeto al desarrollar tales movilidades lo realizaran a través del lugar geométrico de cualquier forma o figura creada e interpretada por el excelso lenguaje abstracto que implementa la geometría analítica.

A través de la utilización de la espectacular figura de la circunferencia hemos podido originar maravillosas curvas y en consecuencia esenciales movimientos implementados en nuestras actividades cotidianas logrando de esta forma minimizar arduas tareas desempeñadas de manera manual por cualquier persona en diferentes áreas de nuestra sociedad, muchos son los mecanismos de transmisión de movimientos creados para tales propósitos antes descritos, eso es lo que nos ha otorgado el campo de la ciencia al ir descifrando cada uno de los complejos fenómenos naturales y en donde ya hemos expresado que el movimiento representa sin lugar a dudas el más importantes de estos fenómenos.

La circunferencia aparte de su respectivo movimiento circular se ha convertido en la herramienta base o fundamental que nos ha otorgado la posibilidad de poder profundizar en la generación de importantes curvas cuyos lugares geométricos se han convertido en las trayectorias de innumerables tipos de movilidades, tal y como lo pudimos comprobar con el principal modelo de los fenómenos oscilatorios como lo es el movimiento armónico simple (M.A.S.) así como con la cicloide, epicicloide e hipocicloide curvas con gran relevancia en el entendimiento del fenómeno del movimiento.

Es importante tener siempre presente que cualquier tipo de curva podrá generarse gracias a la movilidad de un determinado punto, en donde dicho punto cumpliendo con ciertas y específicas condiciones dibujará el lugar geométrico de una determinada curva, y el cual se convertirá en la huella o trayectoria tanto para dicho punto (al generar la curva) como para cualquier cuerpo u objeto al seguir o desarrollar una particular movilidad, es decir, que al originarse cualquier tipo de curva el movimiento seguido por el punto móvil dará como resultado un movimiento característico a tal curva.

Por tanto podemos expresar que desde allí la cinemática se apoya en cuanto al nombre de un determinado movimiento debido a que una partícula pudiera considerarse el punto generador de una particular curva, en palabras más sencillas cuando por ejemplo se origina un movimiento circular es debido a que una partícula, cuerpo u objeto se mueve a través del lugar geométrico que describe a la circunferencia tal y como lo hace geométricamente un punto cualesquiera del plano cuando genera dicha figura.

Esto nos ha llevado a expresar que la cinemática al igual que el lenguaje algebraico forman parte intrínseca de la geometría analítica, ya que como ciencia del movimiento permite la movilidad de un punto cualesquiera de un plano para marcar, trazar o dibujar una curva y a través del lenguaje abstracto realizar cualquier tipo de ecuaciones o formulaciones de forma universal, permitiendo de esta forma la resolución de cualquier planteamiento o problema que posean similares características tal y como lo hemos podido observar en el fenómeno del movimiento y sus diferentes formas de presentación.

Ya pudimos descifrar al movimiento circular en pasadas publicaciones, de igual forma hicimos rodar a la circunferencia sobre una línea recta encontrándonos con la cicloide y sus impresionantes características al invertirla, también la rodamos, sin deslizarse, sobre otra circunferencia y generamos a las epicicloides para después hacerla rodar o girar por el interior de otra circunferencia en donde desarrollamos a las hipocicloides, las dos últimas esenciales figuras denominadas también curvas mecánicas por su implementación en elaboración de perfiles de engranajes componentes fundamentales en los mecanismos de transmisión de movimientos.

Ahora en el presente artículo analizaremos a la curva cisoide, en donde, también nos apoyaremos en un circunferencia pero en esta ocasión permanecerá inmóvil, por lo tanto para poder describir el lugar geométrico de la cisoide debemos considerar una circunferencia cuya diámetro estará representado por AB y en donde trazaremos una recta tangente a dicho diámetro la cual pase por el punto B, de esta recta tangente tomamos un punto cualesquiera (P) luego hacemos pasar una recta sobre los puntos PA, sobre esta recta PA ubicamos un punto (M) cuya distancia hasta el punto A es igual a la distancia entre los puntos BP, por tanto el lugar geométrico de esta curva lo describirá la traza o trayectoria del punto M cuando el punto P se mueve o se desplaza sobre la recta tangente, entonces la curva cisoide quedaría establecida por todas aquellas posibles posiciones del punto M, llevando acabo este punto (M) un movimiento que denominaremos Cisoidal, como el que observaremos más adelante en el gif animado sobre el lugar geométrico de una cisoide.

La primera de este tipo de curvas fue propuesta o descubierta por Diocles de allí que la conozcamos generalmente con el nombre de cisoide de Diocles y la misma generó gran interés de estudio por varios matemáticos gracias a su utilización en la solución de uno de los problemas notables de la antigüedad como lo fue la duplicación del cubo, a partir de este momento grandes personalidades de la época profundizaron en la obtención de dicha curva logrando desarrollar métodos para generar distintas formas de cisoides como es el caso de la cisoide entre dos rectas paralelas encontrándonos también con la curva Lemniscata de dos hojas perteneciente a la familia de cisoides y la cual en el mundo de las matemáticas representa el símbolo de infinito y también para otras áreas como la física específicamente en la cinemática en cuanto al movimiento que la misma genera y en consecuencia para la mecánica sirve de modelo para el diseño de hélices.

Nos sigue brindando la geometría analítica cualquier tipo de lugar geométrico por donde transita cualquier partícula, cuerpo u objeto cuando desarrolla un determinado movimiento y esto lo hemos venido manifestando y comprobado en cada uno de los artículos antes analizados, por lo que podemos afirmar que hemos recorrido o transitado importantes trayectorias vinculadas a reconocidas formas o figuras geométricas como la línea recta, circunferencia, parábola, elipse, hipérbola, combinaciones de ellas así como alguno de sus fragmentos, encontrándonos con otras figuras muy complejas como la mariposa o atractor de Lorentz, curvas periódicas o armónicas, la cicloide, las epicicloides, las hipocicloides constituyendo cada una de estas figuras un tipo de movimiento tanto individual como combinado o complejo.

Para describir el lugar geométrico de la cisoide podemos utilizar la siguiente figura 1, en donde una circunferencia cuyo diámetro está representado por el segmento AB por el cual trazamos una recta tangente este extremo del diámetro por donde pasa dicha tangente puede ser el punto B, ubicamos un punto (P) cualesquiera de la mencionada tangente y desde este punto (P) trazamos una recta que pase por A es decir PA en donde la longitud BP sea la misma a la longitud AM como se muestra en la figura 1, por lo tanto el lugar geométrico de esta curva será descrita por la trayectoria del punto (M) cuando el punto (P) se mueva sobre la recta tangente como podemos observar a continuación:

En la figura 1 podemos observar el inicio de la formación de un tipo general de cisoide en donde dicha curva se expande hasta el infinito de las dos direcciones de un determinado eje, presentando un solo vértice y además cuando ambas ramas de la cisoide se alejan de su vértice se aproximarán a la recta tangente a la circunferencia como su asíntota horizontal según como esta en la figura 1.

A continuación notaremos el movimiento del punto M al describir el lugar geométrico de la cisoide cuando el punto P se desplaza por su recta, es decir, la tangente a la circunferencia la cual representa a su vez la asíntota de dicha curva como se observa en el siguiente gif animado.

En el anterior gif se puede notar de manera práctica la descripción del lugar geométrico de la cisoide en donde el movimiento inyectado al punto M a través del punto P es primordial para la generación de esta curva. La cisoide de Diocles promovió la utilización de un método para originar cisoides a través de dos curvas polares, en donde dicho método está representado por la resta, suma o semisuma de los respectivos radios vectores de aquellas curvas que se le desee encontrar su cisoide, de esta forma encontramos la relación con el método de Maclaurin para originar la curva lemniscata de Bernoulli por lo cual dicho método podemos relacionarlo con la obtención de una cisoide para una circunferencia con ella misma a través de la resta de sus radios vectores, por lo tanto la curva lemniscata pertenece a la familia de las cisoides, representando esta última un caso particular de la cisoide, como podemos observar en la siguiente figura 2.

# ***Movimiento Cisoidal***

Continuamos con la búsqueda de diferentes tipos de movimientos desarrollados en nuestro entorno, encontrándonos en esta oportunidad con el movimiento cisoidal y el mismo ha representado un esencial fenómeno de movilidad el cual nos permite aumentar nuestro nivel intelectual y en consecuencia social, es importante destacar la forma o manera como se generan las distintas curvas cisoidales ya que para que esto ocurra es necesario el desarrollo de un determinado movimiento.

Apoyándonos en la figura 1, podemos decir de forma general que el lugar geométrico de la cisoide de Diocles queda representado por la movilidad de un punto (M) perteneciente a la recta que pasa por los puntos PA, dicho punto (M) se moverá a medida que el punto (P) se movilice a través de la recta tangente a la circunferencia, entonces el punto (M) que genera dicha curva desarrollará un movimiento que hemos llamado Cisoidal.

Con la anterior movilidad podemos decir que el extraordinario fenómeno del movimiento permite poder generar o crear innumerables curvas para la geometría analítica y que a su vez a través de la cinemática las implementamos como el lugar geométrico de cualquier trayectoria a seguir por una determinada partícula, cuerpo u objeto al desarrollar un singular, compuesto o complejo movimiento.

Todos podemos afirmar que cualquier tipo de forma o figura geométrica además de poseer características intrínsecas de movilidad debido a su origen o formación el cual lo hace dependiente de un tipo de movimiento bien sea de uno o varios puntos de un determinado plano para su generación, también podríamos manifestar que estas figuras siempre jugaran un vital papel en el desarrollo de cualquier fenómeno de movimiento que se encuentre entre nosotros ya sea como lugar geométrico o como estructura para permitir la transmisión de una determinada movilidad.

Esto nos lleva a un caso particular de la cisoide la cual es llamada lemniscata de Bernoulli y la misma debido a su forma ha servido de inspiración para la elaboración de las hélices las misma como sabemos representan importantes formas u objetos geométricos para el desarrollo de cualquier tipo de movimiento en diferentes sistemas mecánicos o físicos los cuales podrían encontrarse presentes en nuestros hogares, por lo tanto la movilidad intrínseca de cualquier curva permitirá al ser humano poder obtener figuras geométricas con la firme intención de convertirlas en trayectorias de innumerables movimientos, como lo pudimos observar a través del movimiento generado para la construcción de la curva cisoide.

Los modelos matemáticos son las herramientas fundamentales utilizadas por todo el campo de la ciencia para poder comprender de mejor forma cada uno de los fenómenos que se presentan en nuestro universo, por lo tanto los mismos representan la ideal representación abstracta de dichos fenómenos naturales, permitiéndonos una interpretación de manera general o universal sobre un determinado planteamiento que amerite no solo su comprensión mediata sino que podamos utilizar tal planteamiento para futuros problemas con características semejantes, tal y como lo hemos podido hacer con los modelos o formulaciones matemáticas.

Poder obtener la comprensión de forma algebraica o abstracta de cualquier tipo de curva nos ha permitido la estructuración o consolidación de las distintas ramas de la ciencia, ya que cualquier forma o figura geométrica tendrá una especial aplicación en las distintas ramas científicas tal y como lo hemos probado en la cinemática mediante el estudio del fabuloso fenómeno del movimiento.

La cisoide es aquella curva estructurada por dos ramas proporcionales o simétricas y las cuales parten desde un mismo punto y ambas poseen una asíntota común, al igual que las innumerables curvas que tenemos en nuestra actualidad la cisoide se generalizó a través de formulaciones algebraicas tales como las que tenemos a continuación:

Mediante la ecuación 3 encontramos el volumen de aquel solido de revolución originado al inyectarle movilidad a la curva cisoide en relación a su asíntota, característica de esta curva que la ha hecho atractiva en otras áreas de las matemáticas como lo es el cálculo.

Podemos afirmar cada vez más que los extraordinarios modelos matemáticos nos han permitido reducir el grado de complejidad que impregna a nuestros fabulosos fenómenos naturales, logrando de esta forma que así como la ciencia también cualquiera de nosotros podamos entender de manera generalizada dichos fenómenos.

Seguimos comprobando que son innumerables las distintas formas de manifestación del fenómeno del movimiento y cada una de las mismas (manifestaciones) sabemos que siempre serán útiles y necesarias para todos nosotros ya que dependemos de ellas al igual que nuestro infinito universo, hasta ahora son importantes las curvas analizadas y que han dejado sus sensacionales huellas en el mundo de la ciencia y la física a través de su cinemática lo ha evidenciado.

La curva cisoide de la misma manera que las otras curvas antes estudiadas se han podido configuran o dibujar por medio de un determinado o particular movimiento y resaltando además que estas curvas las implementa la cinemática al momento de analizar y estudiar el comportamiento de movilidad de cualquier partícula, cuerpo u objeto que se encuentre en cualquier espacio de nuestro entorno, por tanto de manera general el respectivo lugar geométrico de la curva cisoide es aquel constituido por la movilidad de un punto M (según figura 1) el cual pertenece a la recta que atraviesa los puntos P y A, el antes mencionado punto M podrá moverse cuando se mueva el punto P a través de la recta tangente a la circunferencia generadora y de esta forma quedará constituido el lugar geométrico de la cisoide de manera general.

La cisoide constituida por dos ramas simétricas partiendo ambas desde un mismo punto y poseen una misma asíntota (recta tangente a la circunferencia generadora) bien sea horizontal o vertical dependiendo de la orientación de dicha asíntota, esta curva la inventó Diocles con la finalidad de resolver el problema planteado sobre la duplicación del cubo, existen importantes particularidades de esta curva como la lemniscata de Bernoulli utilizada como modelo en la construcción o fabricación de hélices elementos muy usados en el diseño de distintos sistemas mecánicos que nos facilitan nuestras actividades cotidianas.

Al girar (dar movimiento) a la cisoide alrededor de su asíntota obtenemos un sólido que representa una importante forma o figura ideal para la elaboración de las antenas parabólicas, una sorprendente curva dotadas de muchas virtudes las cuales son aprovechadas por distintas áreas del saber humano y la cinemática en unión con la geometría analítica lo han materializado mediante el estudio del más importante y vital fenómeno para la humanidad, el movimiento.

Para concluir mis apreciados lectores conocer cada vez más sobre cualquier fenómeno de nuestro entorno nos ha permitido seguir alargando nuestra existencia en este planeta y sobre todo el conocimiento acerca del movimiento ofrecido principalmente por el extraordinario nexo entre la geometría analítica y la cinemática, las misma como ya hemos manifestado nos permiten estar cada vez más cerca de nuestro entorno natural.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, el gif de la curva cisoide fue realizada con GeoGebra y el gif animado al principio de la publicación fue elaborado con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.