Descripción matemática de la Conductividad eléctrica en Semiconductores

La conductividad eléctrica es una propiedad eléctrica de los materiales que está relacionada con los portadores de carga y la naturaleza de sus enlaces químicos. Proviene de la resistividad eléctrica del material, que nos da la información del grado de oposición que presenta dicho material al flujo eléctrico a una temperatura dada (1).

Los semiconductores por su parte, según la teoría de bandas, son cristales en donde todas las bandas de energías permitidas están ocupadas exceptuando una o dos ligeramente ocupadas o vacías, de manera que los electrones puedan trasladarse debido a la excitación. En semiconductores, a la temperatura del cero absoluto, ningún electrón puede moverse debido a que las bandas de están completamente ocupadas o llenas, comportándose así como aisladores eléctricos.

Fuente

Conductividad eléctrica en semiconductores.

En semiconductores la conductividad eléctrica es descrita en función de la densidad de corriente debida a electrones y huecos (2). Dicha densidad de corriente de electrones y huecos es igual al número de portadores de carga que atraviesan una sección transversal por unidad de tiempo, y es descrita como:

Donde, son la densidad de corriente de electrones y huecos respectivamente, la carga eléctrica del electrón y hueco, la concentración de electrones y huecos, y las velocidades promedio de los electrones y los huecos respectivamente. La velocidad promedio se puede escribir como para los electrones ( para los huecos), donde es la movilidad del electrón (hueco) y es el campo eléctrico aplicado. Y como , donde e es la carga elemental del electrón. Tenemos que,

Además, tomando en cuenta la ecuación de transporte de Maxwell-Boltzmann, las movilidades son definidas como , donde es el promedio ponderado de los tiempos de relajación para los electrones (huecos) y la masa efectiva de los electrones (huecos). La corriente eléctrica debido a electrones y huecos van en sentido contrario, es decir, , por tanto,

Usando la ley de ohm, tenemos que la conductividad eléctrica viene dada por,

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La ley de Ohm es la observación experimental que describe la densidad de corriente eléctrica J de un conductor a un campo eléctrico constante E y a temperatura constante, y está expresada como:

Donde, σ la conductividad eléctrica y ρ. Es la resistividad eléctrica del conductor.

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Por lo tanto la resistividad eléctrica viene expresada por,

Donde son los valores instantáneos reales de la concentración de electrones y huecos que no necesariamente son idénticos a las densidades en equilibrio de huecos y electrones . Sin embargo, hasta ahora se ha supuesto que no existen gradientes de densidad de portadores y por tanto las concentraciones corresponden con las del estado de equilibrio. De manera que la conductividad en la ecuación [5] se convierte en:

Es necesario establecer esta distinción, porque es posible crear densidades de portadores en exceso de los valores de equilibrio en los semiconductores. Para un semiconductor intrínseco con densidades de portadores igual a los valores de equilibrio, , la conductividad se convierte en:

Donde, . Así la resistividad [9] queda expresada por la siguiente ecuación:

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El valor de representa el número de electrones y huecos por unidad de volumen dentro de una muestra intrínseca (3). Como en un semiconductor intrínseco , calculando la densidad para electrones y para huecos por unidad de volumen, en función de la densidad de estados , tenemos:

Donde tenemos que, es el número de estados por unidad de energía por unidad de volumen. Y la densidad de estados de electrones en la banda de conducción es descrita por:

La función es la probabilidad de que un electrón ocupe un estado de energía es llamada distribución Fermi-Dirac y viene dada por:

Donde es la energía de Fermi del sistema. Si suponemos que , la ecuación Fermi-Dirac se transforma en:

Reemplazando y tenemos que la densidad de estados para electrones y huecos es:

donde,

Con la densidad de estados efectiva de las bandas de conducción y valencia respectivamente. De esta manera, para el semiconductor intrínseco:

Donde, es tomada por conveniencia. El término depende de la estructura de bandas del semiconductor. Reescribiendo en función de la temperatura nos queda,

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Sustituyendo finalmente esta ecuación en la conductividad [11] para un semiconductor intrínseco, nos queda:

Y que la resistividad [12],

Las ecuaciones resultantes [24] y [25], son estrictamente dependientes de la temperatura. Por consecuencia, se requiere una gráfica de la conductividad eléctrica en función de la temperatura para explicar su comportamiento característico.

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En una segunda ocasión les hablaré del comportamiento de la conductividad eléctrica en función de la temperatura de los semiconductores.

Muchas gracias amigos de Steemit. Espero sea de su agrado mi aporte en Ciencia de los Materiales Semiconductores.

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Referencias Bibliográficas:
(1) Singh, Yadunath. (2013). Electrical resistivity measurements: A Review. Bikaner, India. P.745-756.
(2) Mckelvey, John P. (1976). Física del estado sólido y de semiconductores. México. Editorial Limusa. P.281-306.
(3) Reif, F. (1968). “Fundamentos de física estadística y térmica”. España. Traducción por José Béscos Belarra. Editorial del Castillo. P.353.