INTRODUCCIÓN
A continuación profundizaremos en el uso de los espectros de diseño elásticos para el análisis de edificaciones desde el enfoque de la ingeniería sismoresistente; análisis que tiene como norte la estimación de desplazamientos, fuerzas cortantes, momentos y fuerzas axiales en las columnas; siendo de vital importancia el conocimiento de las propiedades dinámicas de la estructura, especialmente aquellas referidas al período natural “Tn” y fracción de amortiguamiento crítico “ξ”; a las cuales se les hace un rápido abordaje en el tópico concerniente a “CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ESTRUCTURAL A ANALIZAR”
En lo que respecta a los espectros de diseño con los que estaremos trabajando, estos estarán ajustados a la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001; de acuerdo a lo presentado en la referencia N°03, un espectro es un gráfico de respuestas máximas en términos de aceleración, velocidad o desplazamiento, con respecto a valores de período natural “Tn”; y para el caso de los espectros de la norma sísmica venezolana, estos se encuentra por defecto definidos para una fracción de amortiguamiento crítico “ξ” en el orden de “0.05”; y la respuesta estructural es presentada en términos de aceleración espectral “Ad”; en este orden de ideas, con el conocimiento del periodo natural “Tn” de la estructura, se ingresa en la función espectral para estimar de forma manual el valor de “Ad”, dato clave en la estimación de la fuerza estática equivalente “Fe” cuyo concepto se introdujo en la referencia N°03, y posteriormente aplicando los principios de la estática obtener las solicitaciones internas en los elementos estructurales. Una vez desarrollado el proceso de análisis de forma manual, se realizará un contraste de resultados obtenidos con la herramienta computacional SAP-2000 Versión 14.0.0.
Imagen N°01: ideas generales a estudiar
Fuente: SAP 2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
La idea de hacer el análisis espectral de forma manual, es con la intención de que el profesional que se forma en el campo de la ingeniería sismoresistente desarrolle sólidas bases de las aplicaciones de la dinámica estructural en el proceso de análisis de una edificación, y así al momento de utilizar los programas de cálculo, posea sentido crítico en la interpretación de los resultados que estos arrojan.
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ESTRUCTURAL A ANALIZAR
En la realización del análisis espectral tomaremos como referencia un pórtico plano de un grado de libertad tanto estático como dinámico, con propiedades de masa “m”, rigidez “k” similares a las del modelo estructural empleado en la referencia N°03, presentando por lo tanto las mismas propiedades dinámicas en cuanto a período natural “Tn” se refiere. A continuación se desarrolla el cálculo de esta propiedad, con la intención de propiciar al lector una secuencia de obtención de los resultados desde los más sencillos, hasta los más avanzados provenientes del análisis estructural; al mismo tiempo que se recomienda la revisión de la referencia N°04, donde se profundiza en la obtención de esta propiedad.
Imagen N°02: modelo estructural tomado como referencia
Fuente: Santana (2018)
La estructura de la imagen N°02 está representada por un pórtico plano con columnas de sección cuadrada, de lados:
Al mismo tiempo, se supone al pórtico construido en concreto armado, por lo que el módulo de elasticidad a los fines del cálculo de la rigidez “k” viene dado por:
La inercia de la sección transversal, es:
Las propiedades relativas a “área” e “inercia” de la estructura en estudio, permiten la aplicación de la siguiente ecuación para obtener la rigidez de una de las columnas:
Sustituimos en la ecuación N°01:
De acuerdo a la configuración deformada de la imagen N°02, ambas columnas aportan a la rigidez lateral, por lo tanto:
En lo referente a las propiedades de “masa” y peso “W” se tiene lo siguiente:
Por lo que:
Conocidas estas propiedades el periodo natural “Tn” viene dado por:
Sustituimos:
La fracción de amortiguamiento crítico “ξ” se fija en el orden de “0.05”, para mantener sintonía con los espectros de diseño definidos conforme a la aplicación de la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001. Se recomienda al lector la revisión de la referencia N°05, donde se profundiza en la obtención experimental del amortiguamiento de una estructura.
CONSIDERACIONES GENERALES PARA EL ANÁLISIS ESPECTRAL
En el análisis espectral es importante definir el uso que se le dará a la edificación, y para el caso en estudio, supondremos que el pórtico pertenece a un hospital, adicionalmente asumiremos que el suelo es duro, con un una profundidad a la roca H=30m, un dato que dejaremos constante en los análisis para fines didácticos. En lo que respecta a la ubicación de la estructura, esta nos servirá de base para definir dos casos de estudios, como se aprecia en la tabla N°01:
Tabla N°01: resumen de la información para la definición del espectro
Fuente: Santana (2018)
Estas zonas representan diversas regiones del país, y es una clasificación establecida en la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001, donde en la medida que el número de la zona aumenta mayor es la amenaza sísmica; por lo que en los casos de estudios seleccionados, realizaremos el contraste de las solicitaciones en la estructura para una zona de amenaza sísmica intermedia como lo es la zona 3, y otra de amenaza sísmica alta, como lo es la zona 7. Procedamos a continuación a definir los espectros de diseño.
DEFINICIÓN DE LOS ESPECTROS DE DISEÑO AJUSTADOS A LA NORMA SÍSMICA VENEZOLANA COVENIN 1756-1:2001
Conviene traer a colación que un espectro, es una representación de las respuestas máximas de diversos sistemas de un grado de libertad sometidos a una excitación sísmica representada por un acelerograma; los espectros así construidos se denominan espectros de respuestas; en la referencia N°03 se profundiza en este aspecto. En esta oportunidad trabajaremos con espectros de diseño, los cuales difieren de los anteriores, en cuanto a su forma de construcción, por el hecho de que estos se obtienen en base a parámetros estandarizados, como el tipo de estructura, uso, zonificación, entre otros.
La única diferencia entre los casos de estudios con los que estaremos trabajando, es la relativa a su ubicación. Conviene aclarar que para fines didácticos la información en cuanto al tipo de suelo fue asumida y se deja constante, para enaltecer la influencia de la zonificación en el problema que se estudia. En proyectos reales, la realización de los estudios de suelos, es una labor imprescindible, cuya información obtenida es de gran utilidad en estos análisis.
Ahora bien, en base a lo presentado en la tabla N°01, el uso de la edificación está destinado a un “hospital”, y de conformidad a lo que establece la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001, la estructura en estudio pertenece al grupo A, de lo que se desprende el siguiente factor de importancia “alfa”:
Por su parte el coeficiente de aceleración horizontal, depende de la zona sísmica, de este modo:
Para el caso de suelos duros o densos, con un espesor H=30 metros, corresponde una forma espectral del tipo S2, de donde se derivan los siguientes parámetros:
Adicionalmente dependiendo de la zona sísmica se derivan los siguientes factores:
Conviene destacar que el espectro que a continuación definiremos, está estandarizado para una fracción de amortiguamiento crítico “ξ” de 0.05. En la sección de comentarios de la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001, se encuentran relaciones de interés que permiten ajustar los espectros de diseño a otros valores de fracción de amortiguamiento crítico “ξ”. Una vez definidos cada uno de estos parámetros podemos construir la función espectral tomando como referencia el gráfico de la imagen N°03.
Imagen N°03: espectro de diseño elástico, COVENIN 1756-1:2001
Fuente: Santana (2018)
A nivel de cálculo manual obtendremos la aceleración espectral “Ad” sustituyendo directamente en la fórmula de aceleración espectral resaltada por el recuadro de color “azul” de la imagen N°03, ya que es la que define la rama donde el periodo natural de la estructura “Tn” intercepta. Al momento de utilizar la herramienta computacional SAP-2000 Versión 14.0.0, ingresaremos las coordenadas de cada punto de la función espectral, abarcando un rango de períodos naturales de 0 seg a 2.5 seg. En las imágenes N°15 y N°19 se puede apreciar este hecho.
DETERMINACIÓN DE “Fe” y “umax” PARA LOS DISTINTOS CASOS DE ESTUDIO
De acuerdo a lo ilustrado en la imagen N°03, el período natural “Tn” de la estructura en estudio intercepta la tercera rama del espectro de diseño, por lo que la fórmula a emplear para el cálculo de la aceleración espectral “Ad” es la siguiente:
Para el caso de estudio N°01 tenemos lo siguiente:
Tabla N°02: sinopsis de parámetros para la estimación de la aceleración espectral “Ad”, caso de estudio N°01
Fuente: Santana (2018)
Sustituimos en la ecuación N°03 los parámetros indicados en la tabla N°02, evaluando para el período natural “Tn” de la estructura en estudio, correspondiente a 0.74 seg.
La fuerza estática equivalente “Fe” viene dada por:
Sustituimos:
Por su parte el desplazamiento máximo “umax” puede ser obtenido de la siguiente manera:
Sustituimos:
Otra manera alternativa de obtenerlo es con la siguiente relación:
Sustituimos:
Un resultado aproximadamente igual al obtenido con la aplicación de la ecuación N°05. En la imagen N°04, se ilustran los principales resultados obtenidos:
Imagen N°04: “Fe” y “umax” caso de estudio N°01
Fuente: Santana (2018)
En lo que respecta al caso de estudio N°02 tenemos:
Tabla N°03: sinopsis de parámetros para la estimación de la aceleración espectral “Ad”, caso de estudio N°02
Fuente: Santana (2018)
Evaluamos en la ecuación N°03 de la forma:
La fuerza estática equivalente “Fe” viene dada por:
Sustituimos en la ecuación N°06 para estimar el desplazamiento máximo “umax”:
En la imagen N°05, se ilustran los principales resultados obtenidos:
Imagen N°05: “Fe” y “umax” caso de estudio N°02
Fuente: Santana (2018)
Se aprecia el efecto que tiene la zonificación en los valores de desplazamientos y fuerzas estáticas equivalentes obtenidas, es evidente que una estructura ubicada en “zona 7”, estará más exigida desde el punto de vista sísmico; ahora surge la siguiente cuestión:
¿Cuáles serán las fuerzas y momentos internos de los elementos estructurales?
Para responder a esta interrogante nos tenemos que valer de la estática, para la construcción del diagrama de cuerpo libre de la estructura que se analiza, y en base a la aplicación de la ley de acción y reacción, hacer una distribución de las fuerzas y momentos en los elementos que constituyen la estructura en cuestión. En el siguiente tópico se realiza un abordaje didáctico de este aspecto.
ESTUDIO DIDÁCTICO DE LA TRANSMISIÓN DE ESFUERZOS ENTRE LOS DISTINTOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES
La configuración estructural del pórtico plano que se analiza, le confiere un grado de libertad estático y un grado de libertad dinámico, por lo que la única posibilidad de deformación se aprecia en la imagen N°06.
Imagen N°06: configuración deformada permitida en la estructura en estudio
Fuente: Santana (2018)
Planteemos la distribución de la fuerza estática equivalente “Fe” entre los distintos elementos estructurales y las juntas:
Imagen N°07: paso 01, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
El paso 01 consiste en distribuir el 50% de la fuerza estática equivalente “Fe” entre los elementos que aportan a la rigidez lateral como lo son las columnas, lo cual tiene sentido, dado que ambas tienen las mismas características en cuanto a dimensiones y materiales constituyentes. El paso 02, es plantear el equilibrio de estas fuerzas cortantes en cada columna de la siguiente manera:
Imagen N°08: paso 02, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
Para el paso 03, la fuerza resaltada en color “rojo” de acuerdo a la tercera Ley de Newton emprende un viaje de acción y reacción como se ilustra en la imagen N°09:
Imagen N°09: paso 03, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
El paso 04 consiste en transferir la fuerza resaltada en color “rojo” a la junta “b” y así completar el equilibrio que tiene que ver con la transmisión de fuerzas cortantes:
Imagen N°10: paso 04, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
Una vez chequeado el equilibrio en las juntas; nos valemos del hecho de que estas están imposibilitadas de rotar, para establecer que los momentos en los extremos de cada una de las columnas son los mismos, lo cual constituye el paso 05 en este proceso de estimación de las fuerzas y momentos internos.
Imagen N°11: paso 05, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
Procedemos a transferir el momento del extremo “c” de la columna a la junta “c”, para que posteriormente este llegue al extremo “c” de la viga. Este paso 06 se ilustra a continuación:
Imagen N°12: paso 06, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
De igual manera ocurre con la columna “a-b”, así que a modo de paso 07 tenemos:
Imagen N°13: paso 07, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
Estos momentos actuantes en las vigas sugieren el planteamiento de fuerzas cortantes, las cuales por principio de transmisión de esfuerzos pasan a constituir las fuerzas axiales que llegan a las columnas, como se aprecia en la siguiente imagen:
Imagen N°14: paso 08, en la estimación de las fuerzas y momentos internos
Fuente: Santana (2018)
Las fuerzas resaltadas en color “rojo” son las fuerzas axiales que llegan a las columnas como resultado de la excitación sísmica, idealizada a través del concepto de fuerza estática equivalente “Fe”. Se aprecia que la columna “a-b” está sometida a fuerzas de tracción, y la columna “c-d” a fuerzas de compresión. El paso que sigue, es establecer una relación de equilibrio para cada elemento estructural, y tomar de esta manera los valores de los momentos en función de las fuerzas cortantes.
Si hacemos momento en el extremo “a” de la columna “a-b”, tenemos:
Despejamos “M”:
La ecuación N°07 también es válida para la columna “c-d”. Dado que sabemos cómo determinar “M”, planteamos el equilibrio para el elemento horizontal “viga”, específicamente en el extremo “b”, con la finalidad de encontrar los valores de “N”:
Despejamos “N”:
Rescribimos sustituyendo la ecuación N°07 en la N°08:
Apliquemos las ecuaciones deducidas en pro de la determinación de las solicitaciones internas del pórtico en estudio.
DETERMINACIÓN DE LAS SOLICITACIONES INTERNAS PARA LOS CASOS EN ESTUDIO
En la tabla N°04 se tiene un resumen de las fuerzas cortantes, axiales y momentos flectores.
Tabla N°04: cálculo manual de las solicitaciones internas del pórtico en estudio
Fuente: Santana (2018)
Procederemos ahora a contrastar los resultados obtenidos de forma manual, con los obtenidos con ayuda de la herramienta computacional SAP 2000 Versión 14.0.0, para lo cual es necesario en primera instancia dar una breve descripción sobre la forma como la información es incorporada en el programa en cuestión, especialmente la referida al espectro diseño definido conforme a la norma sísmica venezolana COVENIN 1756-1:2001.
USO DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL SAP-2000 VERSIÓN 14.0.0. CASO DE ESTUDIO N°01. CONTRASTE CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE FORMA MANUAL
Uno de los aspectos de mayor relevancia a definir en la herramienta computacional SAP-2000 Versión 14.0.0, es la concerniente a la función espectral. En la imagen N°15 se ilustra este paso. Notamos que se establece la fracción de amortiguamiento crítico “ξ” en el orden de 0.05. Se resalta el valor de “Ad” aproximado en función al periodo natural “Tn” de la estructura en estudio.
Imagen N°15: inclusión de la función espectral, caso de estudio N°01
Fuente: SAP-2000 versión 14.0.0; adaptada por Santana (2018)
Una vez incluida la función espectral en el programa, así como las propiedades de masa, rigidez de la estructura en estudio, procedemos a ejecutar el análisis, obteniendo en primera instancia los siguientes resultados relativos a periodo natural “Tn” y desplazamiento máximo “umax”.
Imagen N°16: período natural “Tn” y desplazamiento máximo “umax” obtenido con la herramienta computacional. Caso de Estudio N°01
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
En lo que respecta a las solicitaciones internas, contextualizadas en fuerzas cortantes, fuerzas axiales y momento flector en las columnas, se tiene lo siguiente:
Imagen N°17: valores de fuerza cortante “V” y momento flector “M” obtenido con el uso de la herramienta computacional. Caso de Estudio N°01
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
En lo que respecta a la carga axial actuante en las columnas, se tiene lo siguiente:
Imagen N°18: valor de fuerza axial “N” obtenido con el uso de la herramienta computacional. Caso de Estudio N°01
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
Procedemos a realizar una tabla comparativa de resultados, entre los valores obtenidos de forma manual y los obtenidos con ayuda de la herramienta computacional SAP-2000 Versión 14.0.0, tomando como referencia el caso de estudio N°01:
Tabla N°05: contraste de resultados, caso de estudio N°01
Fuente: Santana (2018)
USO DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL SAP-2000 VERSIÓN 14.0.0. CASO DE ESTUDIO N°02. CONTRASTE CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE FORMA MANUAL
En la imagen N°19, se aprecia la función espectral definida para el caso de estudio N°02, representado a grandes rasgos, por concebir la estructura ubicada en la “zona 7” la zona de mayor amenaza sísmica en Venezuela.
Imagen N°19: inclusión de la función espectral, caso de estudio N°02
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0; adaptada por Santana (2018)
De forma similar como se hizo para el caso de estudio N°01, se definen en el programa las propiedades de masa y rigidez, y los principales resultados obtenidos se ilustran en la siguiente secuencia de imágenes:
Imagen N°20: período natural “Tn” y desplazamiento máximo “umax” obtenido con la herramienta computacional. Caso de Estudio N°02
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
En lo que respecta a la fuerza cortante “V” y momento flector “M” en las columnas se tiene:
Imagen N°21: valores de fuerza cortante “V” y momento flector “M” obtenido con el uso de la herramienta computacional. Caso de Estudio N°02
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
Revisemos la carga axial actuante en las columnas:
Imagen N°22: valor de fuerza axial “N” obtenido con el uso de la herramienta computacional. Caso de Estudio N°02
Fuente: SAP-2000 Versión 14.0.0, adaptada por Santana (2018)
Procedemos a realizar una tabla comparativa de resultados, entre los valores obtenidos de forma manual y los obtenidos con ayuda de la herramienta computacional SAP-2000, tomando como referencia el caso de estudio N°02.
Tabla N°06: contraste de resultados, caso de estudio N°02
Fuente: Santana (2018)
CONCLUSIONES
Es importante que en la formación como ingenieros sismoresistentes desarrollemos un sentido crítico en el manejo de los programas de cálculo estructural, y una de las formas de desarrollarlo, es con la realización de ejemplos sencillos, como el presentado en este trabajo, que nos permite hacer un contraste entre el cálculo manual y el desarrollado con la aplicación del computador; al respecto las conclusiones de mayor relevancia son:
1.- La propiedades de rigidez “k” y masa “m” fueron incluidas adecuadamente en la herramienta computacional, puesto que el valor de período natural “Tn” allí obtenido, es aproximadamente igual al obtenido de forma manual.
2.- El contraste de resultados presentado en las tablas N°05 y N°06 nos demuestra lo preciso que resulta el método de análisis espectral, y cómo la lógica empleada en la transferencia de esfuerzos en pro de la estimación de las solicitaciones internas de los elementos estructurales es sin lugar a dudas correcta. La diferencia porcentual entre los resultados obtenidos de forma manual y con ayuda de la herramienta computacional SAP 2000 Versión 14.0.0 no excede el 0.25%.
3.- Las exigencias a nivel de solicitaciones externas, se incrementan considerablemente al variar de zona sísmica, lo cual es lógico, dado que la amenaza sísmica en la zona 3 es “intermedia” mientras que en la zona 7 es “alta”.
4.- Una de las bondades de usar espectros de diseño, es que de forma rápida, se pueden estimar las solicitaciones sísmicas a las que estará sometida una estructura, donde una de las propiedades de mayor importancia a conocer para tal fin es la concerniente al período natural “Tn”.
En líneas generales se tiene que el análisis espectral es una poderosa herramienta para la evaluación y proyección de edificaciones desde el enfoque de la ingeniería sismoresistente; hasta el momento hemos trabajado con espectros de diseño elásticos, en los que se tiene como máxima que la estructura en estudio no presenta daño ante la fuerza externa a la que es sometida, y una vez retirada recupera su forma original. No obstante, la experiencia demuestra, que las estructuras sometidas a fuertes excitaciones del terreno debidas a sismos, experimentan daño, presentando un amortiguamiento más allá del rango elástico; esto da la bienvenida al uso de espectros inelásticos, donde entra en juego una nueva variable conocida como “Factor de Reducción de Respuesta R”, y sobre los cuales estaré profundizando en un próximo post.
FUENTES CONSULTADAS
1.- CHOPRA ANIL K. 2014. DINÁMICA DE ESTRUCTURAS. CUARTA EDICIÓN. PEARSON EDUCACIÓN, MÉXICO.
2.- NORMA VENEZOLANA. EDIFICACIONES SISMORESISTENTES. PARTE 1: REQUISITOS. 1ERA REVISIÓN. COVENIN 1756-1:2001
3.- SANTANA E. 2018. APRENDIENDO A CONSTRUIR UN ESPECTRO DE RESPUESTA ELÁSTICO A PARTIR DE LA EXCITACIÓN SÍSMICA DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/aprendiendo-a-construir-un-espectro-de-respuesta-elastico-a-partir-de-la-excitacion-sismica-de-sistemas-de-un-grado-de-libertad
4.- SANTANA E. 2018. COMPRENDIENDO LAS APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ESTIMACIÓN DEL PERIODO Y FRECUENCIA NATURAL DE UN PÓRTICO PLANO. CASO: SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/comprendiendo-las-aplicaciones-de-las-matematicas-en-la-estimacion-del-periodo-y-frecuencia-natural-de-un-portico-plano-caso
5.- SANTANA E. 2018. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL AMORTIGUAMIENTO EN ESTRUCTURAS. UN ENFOQUE MATEMÁTICO CON APLICACIONES EN LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE. DISPONIBLE EN:https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/determinacion-experimental-del-amortiguamiento-en-estructuras-un-enfoque-matematico-con-aplicaciones-en-la-ingenieria
6.- INTEGRATED SOFTWARE FOR STRUCTURAL ANALYSIS AND DESIGN – SAP 2000, VERSION 14.0.0. COMPUTERS AND STRUCTURES, INC.