INTRODUCCIÓN
El comportamiento real que exhiben las estructuras que son sometidas a fuertes excitaciones del terreno debidas a un sismo, se caracteriza en la mayoría de los casos por una incursión significativa en el rango de comportamiento inelástico, es decir, existe una presencia de daño; daño que se contextualiza por ejemplo en presencia de grietas, fallas de algún elemento estructural, los cuales son hechos representativos de la forma que tiene la estructura de disipar la energía transmitida por el sismo. Recomiendo al lector la revisión de la referencia N°04, donde realicé un estudio sobre el amortiguamiento de las estructuras más allá del rango de comportamiento elástico, afianzando conceptos de importancia que se derivan del uso de ciclos de histéresis, tales como capacidad de disipación de energía, ductilidad, fuerza cedente, entre otros.
En esta oportunidad, a partir del planteamiento de la ecuación diferencial que rige el equilibrio dinámico del sistema, estudiaremos los aspectos que inciden en la respuesta inelástica en el tiempo de la estructura que se analiza, representada a grandes rasgos por un pórtico plano de un grado de libertad estático y un grado de libertad dinámico. En aras de hacer didáctica la disertación de las ideas a lo largo de esta publicación, estaremos utilizando la herramienta computacional NONLIN V 7.14, un interesante programa difundido en el mundo para el aprendizaje de la Dinámica Estructural y la Ingeniería Sismoresistente (ver referencia N°03). Apreciemos la imagen N°01, para tener una idea general de la temática a estudiar:
Imagen N°01: ideas generales de la temática a estudiar
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint, Paint y AutoCAD V 2007. Los gráficos presentados fueron elaborados con la herramienta computacional Microsoft Excel, a partir del procesamiento de data proveniente del programa NONLIN V 7.14.
De acuerdo a lo observado en el esquema conceptual de la imagen N°01, tomaremos como referencia dos casos de estudios, los cuales serán sometidos a la misma excitación sísmica en la base; la diferencia entre tales casos estriba en los niveles de cedencia establecidos en cada uno de ellos; siendo los puntos de color “rojo” indicativos de las incursiones en el rango de comportamiento inelástico. Surgiendo la siguiente interrogante de importancia:
¿Por qué el caso de estudio N°02 incursionó mucho más en este rango de comportamiento en comparación al caso de estudio N°01?
En el desarrollo de este post, daremos respuesta a esta interrogante, derivándose criterios de importancia en nuestra formación como ingenieros sismoresistentes.
DELIMITACIÓN DE LA TEMÁTICA A ESTUDIAR
El estudio de la respuesta inelástica en el tiempo, lo estaremos llevando a cabo para un sistema de un grado de libertad estático y dinámico (recomiendo al lector la lectura de la referencia N°05, para que afiance estos conceptos básicos de la Dinámica Estructural). La idea fundamental de tomar como referencia un pórtico plano, como el presentado en la imagen N°02, es la de promover a partir de ejemplos sencillos, el dominio de conceptos de importancia en la Dinámica Estructural, y que se pueden extrapolar a casos de mayor complejidad.
Imagen N°02: modelo estructural sometido a una excitación sísmica en la base
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint, Paint y AutoCAD V 2007. Los gráficos resaltados en color rojo provienen de una captura de pantalla realizada a la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Conviene señalar que la excitación sísmica en la base “ug(t)” estará representada por el registro de aceleración horizontal del terreno originada por el sismo de Valle Imperial el 18 de mayo de 1940, el cual fue registrado en la subestación del distrito de riego del Valle Imperial en El Centro, California; de allí, a que una forma práctica de hacer mención a esta excitación sísmica, es a través de la denominación “Acelerograma El Centro,1940”. El planteamiento de la ecuación diferencial que representa el equilibrio dinámico del sistema es en esencia el mismo al planteado en la referencia N°06, con la diferencia de que las fuerzas de restitución elástica “fs”, son una función del sentido de la deformación, y se representa de la siguiente manera:
La finalidad de esta ecuación, es permitir el planteamiento de ciclos de histéresis que obedecen al proceso de carga y descarga de una estructura que es sometida a una excitación sísmica, y que la llevan a un estado de comportamiento más allá del rango elástico, asociado a la presencia de una deformación permanente. Vale destacar que este comportamiento, lo estaremos simplificando en este artículo a través de un modelo elástico perfectamente plástico, como el que se ilustra en la siguiente imagen:
Imagen N°03: ilustración del comportamiento elástico-perfectamente plástico
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.
De acuerdo a lo observado en la imagen N°03, surgen conceptos de importancia como lo son fuerza cedente “fy”, desplazamiento cedente “uy”, sobre los cuales se profundizará al momento de hacer el estudio conceptual de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del sistema; en cuyo planteamiento las fuerzas de amortiguamiento (fd) y las fuerzas inerciales (fi) se establecen como una función lineal de la velocidad “ů” y de la aceleración “ü” respectivamente; y basados en el concepto de equilibrio dinámico se llega a la siguiente expresión:
La ecuación N°02 puede ser rescrita de la siguiente manera:
Profundicemos conceptualmente en muchos aspectos de interés que se derivan de la interpretación de la ecuación N°03 y del esquema conceptual de la imagen N°02, orientados por el enfoque del comportamiento inelástico del sistema estructural cuando es sometido a una excitación sísmica en la base.
ABORDAJE CONCEPTUAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINÁMICO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL QUE SE ANALIZA
Previo a adentrarnos al uso de la herramienta computacional NONLIN V 7.14 procederemos a realizar un análisis conceptual de la ecuación diferencial que define el equilibrio dinámico del sistema estructural ilustrado en la imagen N°02, lo que nos permitirá despertar mayor sensibilidad al momento de utilizar la herramienta computacional en cuestión.
En primera instancia realicemos un repaso de expresiones básicas, las cuales pueden ser profundizadas con la revisión de la referencia N°05, y se resumen a continuación:
Al dividir la ecuación N°03, entre la masa “m”, obtenemos:
Simplificamos la ecuación N°07:
Sustituimos en la ecuación N°08, las ecuaciones N°05 y N°06 de la forma:
Es necesario en el tratamiento de la ecuación N°09, el planteamiento de una serie de relaciones de interés que se derivan del análisis del esquema conceptual de la imagen N°03; una de estas relaciones es la correspondiente a fuerza cedente normalizada:
El gráfico de la imagen N°03 nos permite establecer lo siguiente:
Dado que la pendiente es igual entre las rigideces laterales descritas, esta se puede representar simplemente como “K”, por lo que al sustituir las ecuaciones N°11 y N°12 en la ecuación N°10 se tiene:
El término resaltado en color “naranja” de la ecuación N°09, lo podemos denominar “Z”, y al mismo se le hace el siguiente análisis:
Este término se puede multiplicar y dividir por “fy” quedando lo siguiente:
El término resaltado en color “rojo”, puede ser visto como una forma de normalizar la función que rige la fuerza de restitución elástica “fs(u)” con respecto a la fuerza cedente “fy”, y se puede simbolizar de la siguiente manera:
Por su parte el término resaltado en color “azul” de la ecuación N°15 corresponde al desplazamiento cedente “uy”. En este orden de ideas, la ecuación N°09 puede ser representada de la siguiente forma:
Un parámetro de interés a incluir en el análisis conceptual de la ecuación N°17, es el concerniente al factor de ductilidad “μ”, el cual es una medida cuantitativa de la capacidad de incursionar el sistema en el rango de comportamiento inelástico; basados en el gráfico de la imagen N°03, este factor viene dado por:
Dado que la excitación sísmica aplicada en la base produce una respuesta estructural que varía en el tiempo, la ecuación N°18, la podemos plantear así:
En los casos de tener valores del factor de ductilidad mayores a la unidad, es un indicativo de que el sistema estructural ha incursionado en el rango de respuesta inelástica. En aras de expresar la ecuación N°17 en términos del factor ductilidad “μ”, despejamos de la ecuación N°19 el término “u(t)”:
Y procedemos a obtener la primera y segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación N°20:
Las ecuaciones planteadas nos permiten dividir la ecuación N°17 por el desplazamiento cedente “uy” de la siguiente forma:
Rescribimos:
El término resaltado en color verde lo podemos denominar “J”, y el mismo merece tratamiento especial como el que se desarrolla a continuación:
Multiplicamos y dividimos por la masa “m” de la siguiente forma:
Partiendo de la ecuación N°12, “uy” puede ser representado como:
Sustituimos la ecuación N°27 en la N°26:
Los términos resaltados en color “rojo” vienen a estar representados por la ecuación N°04. Por su parte los términos resaltados por el color “púrpura” se pueden plantear en términos del factor “ay” de la forma:
El inverso de la ecuación N°29 viene dado por:
De allí que al sustituir las ecuaciones N°04 y N°30 en la ecuación N°28, esta quede rescrita de la siguiente manera:
Por lo que una forma alternativa de expresar la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del sistema es:
Adicionalmente el término “ay” definido en la ecuación N°32, puede ser rescrito en función de la frecuencia natural “ɷn”, la fuerza cedente normalizada y el desplazamiento máximo del sistema elástico “uo”. Para tal fin es conveniente a partir de la ecuación N°13 plantear una expresión para el desplazamiento cedente “uy” de la forma:
Ahora bien, sustituyamos la ecuación N°05 en la N°29 de la siguiente manera:
Tomando como referencia la ecuación N°27 y los términos resaltados en color "rojo" de la ecuación N°34, esta puede ser expresada de la siguiente manera:
Sustituimos la ecuación N°33 en la ecuación N°35 de la forma:
A través de esta expresión, podemos definir otra forma alternativa de presentar la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del sistema estructural que se analiza:
INTERPRETACIONES DE LAS FORMAS ALTERNATIVAS DE PLANTEAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINÁMICO
Tres formas alternativas se desprenden de los análisis anteriormente presentados, para plasmar la ecuación diferencial de equilibrio dinámico del sistema que se analiza, las cuales se resumen en la siguiente tabla:
Tabla N°01: formas alternativas de plantear la ecuación diferencia de equilibrio dinámico
Fuente: , año: 2018.
Las interpretaciones de estas ecuaciones nos permiten afianzar sólidos conceptos para adentrarnos en el uso de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, entre los que destacan:
1.- El nivel de comportamiento inelástico que desarrollará el sistema estructural está fuertemente influenciado por el nivel de cedencia establecido, bien sea en términos de fuerza cedente “fy” o desplazamiento cedente “uy”.
2.- El establecimiento del nivel de cedencia, se vincula con los valores máximos de fuerza y desplazamiento “Fo y uo” del sistema en rango elástico.
3.- La fuerza cedente normalizada, se puede interpretar en función a su recíproco y que se conoce como el factor de reducción de respuesta cedente “Ry”, en cuyo establecimiento es importante conocer los niveles máximos de fuerza “Fo” que soporta el sistema en el rango de comportamiento elástico.
4.- Se espera que mientras mayor sea el valor del factor de reducción de fuerza cedente “Ry”, en esa misma proporción lo sean las demandas de ductilidad “μ” en el tiempo.
5.- Las propiedades dinámicas del sistema estructural, definidas a través de su rigidez “K” y su masa “m”, influyen notoriamente en los niveles de ductilidad “μ” que se puedan alcanzar; en un próximo post, profundizaré en este aspecto, tomando como referencia sistemas estructurales muy rígidos (frecuencias naturales “ɷn” muy altas) y sistemas estructurales muy flexibles (frecuencias naturales “ɷn” muy bajas).
Los criterios presentados a lo largo de los ítems N°01 al N°05, representan una base conceptual de importancia a tener en cuenta al momento de realizar la evaluación del pórtico plano mostrado en la imagen N°02 con ayuda de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, procedamos a realizar dichos estudios.
ESTUDIO DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO PARA UN SISTEMA ELÁSTICO CON AYUDA DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL NONLIN V 7.14
En la referencia N°07 el lector puede apreciar de forma práctica el cálculo de las propiedades dinámicas del sistema estructural que se analiza, las cuales en esta oportunidad se señalan de forma directa:
Tabla N°02: propiedades naturales y dinámicas de la estructura que se analiza
Fuente: , año: 2018.
Las columnas resaltadas en color “azul” son los datos de entrada en la herramienta computacional NONLIN V 7.14 para introducir el modelo estructural que va a analizar; por su parte la excitación sísmica estará representada por el “Acelerograma El Centro, 1940” (ver imagen N°02). Establecidas estas condiciones en el programa en cuestión, obtenemos la respuesta en el tiempo en términos de desplazamiento y fuerza; vale destacar que para fines prácticos estaremos tomando en consideración aproximadamente los primeros quince segundos de la respuesta estructural, y en la tabla N°03 se presenta un extracto de la data que representa dicha información.
Tabla N°03: extracto de data de respuesta en el tiempo para el caso elástico
Fuente: , año: 2018. Nota: tabla elaborada por el autor, la información presentada es obtenida a través de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, y procesada con ayuda de la herramienta computacional Microsoft Excel.
A continuación procedemos a representar esta información de forma gráfica:
Imagen N°04: respuesta en el tiempo en términos de desplazamiento y fuerza
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint, Paint y AutoCAD V 2007. Los gráficos de respuesta en el tiempo fueron elaborados con la herramienta computacional Microsoft Excel, y la data para la construcción de los mismos proviene de la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Es válido el planteamiento de la siguiente interrogante:
¿Por qué si lo que queremos evaluar es la respuesta en el tiempo de un sistema inelástico, planteamos en primera instancia un caso elástico?
Y la respuesta a esta interrogante recae en el hecho de que es necesario conocer los valores de desplazamiento máximos “uo” y fuerza máxima “fo” para a partir de allí establecer el punto de cedencia de la estructura que se analiza, lo que da la bienvenida a un término de mucha utilidad en el análisis espectral inelástico, al cual se le hizo una breve mención en el tópico concerniente a “INTERPRETACIONES DE LAS FORMAS ALTERNATIVAS DE PLANTEAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINÁMICO”; tal término es el factor de reducción de respuesta cedente “Ry”, y viene definido por la siguiente ecuación:
Surge la cuestión entonces ¿hasta qué punto conviene establecer la cedencia de la estructura que se analiza? Al respecto, las normas de diseño sismoresistente nos sugieren distintos valores de “Ry”; en el caso de la norma sísmica Venezolana COVENIN 1756-1:2001, este término se expresa simplemente como “R” y los valores que nos presentan están en el orden de 2, 3, 4, 5 y 6. Es conveniente reflexionar, que en la medida que el proyectista defina un valor de “Ry” mayor, se incrementa en esa misma proporción el reto de garantizar un adecuado diseño sismoresistente, que posibilite una adecuada incursión en el rango de comportamiento inelástico de la estructura que se esté analizando.
Es decir, puede resultar muy sencillo establecer un punto de cedencia en la estructura muy por debajo de la fuerza elástica máxima "fo", pero el reto está que una vez el sistema alcance su punto cedente, este desarrolle ductilidad, caracterizada por una adecuada incursión en el rango de comportamiento inelástico. De acuerdo a lo expuesto anteriormente, analicemos la sensibilidad en término de ductilidad en el tiempo de una estructura para distintos valores de reducción de respuesta cedente “Ry”.
INCLUSIÓN DE LA CONDICIÓN ELÁSTICA-PERFECTAMENTE PLÁSTICA EN EL PROGRAMA NONLIN V 7.14
Primero que todo, es importante reflexionar acerca de la inclusión de un modelo elástico-perfectamente plástico en la herramienta computacional NONLIN V 7.14. Este modelo se ilustra en la siguiente imagen:
Imagen N°05: consideraciones generales para el modelo de comportamiento elástico–perfectamente plástico
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.
Estaremos trabajando con dos casos de comportamiento inelástico, en función de los siguientes valores de “Ry”:
• Caso de Estudio N°01, Ry=2
El desplazamiento cedente “uy” viene dado por:
En la imagen N°06, se hace una ilustración de la inclusión de esta información en la herramienta computacional NONLIN V 7.14:
Imagen N°06: inclusión del modelo elástico-perfectamente plástico en el programa NONLIN V 7.14. Caso de Estudio N°01, Ry=2
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. El recuadro resaltado en color rojo proviene de una captura de pantalla realizada a la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
• Caso de Estudio N°02, Ry=6
El desplazamiento cedente “uy” viene dado por:
En la imagen N°07, se hace una ilustración de la inclusión de esta información en la herramienta computacional NONLIN V 7.14:
Imagen N°07: inclusión del modelo elástico-perfectamente plástico en el programa NONLIN V 7.14. Caso de Estudio N°02, Ry=6
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. El recuadro resaltado en color rojo proviene de una captura de pantalla realizada a la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Procedamos a hacer la evaluación en el tiempo de la respuesta en término de desplazamiento de cada uno de estos casos, tomando como referencia la demanda de la ductilidad en el tiempo “μ(t)”, como parámetro de importancia para interpretar el comportamiento inelástico del sistema estructural ante una excitación sísmica en la base.
ESTUDIO DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO PARA UN SISTEMA INELÁSTICO CON AYUDA DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL NONLIN V 7.14
Para fines prácticos y didácticos, estaremos tomando como referencia, los primeros quince segundos de la respuesta estructural del pórtico plano, sometido a una excitación sísmica en la base representada por el “Acelerograma El Centro, 1940”. En las tablas N°04 y N°05 se presenta un extracto de esta información, obtenida con el uso de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, y procesada con la ayuda de la herramienta computacional Microsoft Excel.
• CASO DE ESTUDIO N°01, Ry=2
Tabla N°04: respuesta en el tiempo en término de desplazamiento. Evolución de la ductilidad en el tiempo. Caso de Estudio N°01
Fuente: , año: 2018. Nota: tabla elaborada por el autor, la información presentada es obtenida a través de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, y procesada con ayuda de la herramienta computacional Microsoft Excel.
Esta información se representa gráficamente de la siguiente manera:
Imagen N°08: representación gráfica del desplazamiento y evolución de la ductilidad en el tiempo. Caso de Estudio N°01, Ry=2
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. Los gráficos de respuesta en el tiempo fueron elaborados con la herramienta computacional Microsoft Excel, y la data para la construcción de los mismos proviene de la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Entre los aspectos de mayor relevancia que se derivan de la interpretación del mapa conceptual presentado en la imagen N°08 se tiene lo siguiente:
a.- El sistema estructural incursiona un total de cinco de veces en el rango de comportamiento inelástico a lo largo del tiempo considerado.
b.- La incursión en el rango de comportamiento inelástico, está marcada por un factor de ductilidad “μ” ligeramente mayor a la unidad; lo que indica, que en el tiempo de estudio de la influencia de la excitación sísmica, el sistema se comportó la mayor parte en el rango de comportamiento elástico.
c.- Adicionalmente se observa en el gráfico de respuesta en términos de desplazamiento en el tiempo, que las oscilaciones se dieron en torno a la posición de cero desplazamiento, lo que da a entender, que se produjeron bajos niveles de deformación permanente.
d.- Para un bajo valor de “Ry” la demanda de ductilidad fue baja, tal como se planteó en el ítem N°04 del tópico concerniente a “INTERPRETACIONES DE LAS FORMAS ALTERNATIVAS DE PLANTEAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINÁMICO”.
• CASO DE ESTUDIO N°02, Ry=6
Tabla N°05: respuesta en el tiempo en término de desplazamiento. Evolución de la ductilidad en el tiempo. Caso de Estudio N°02
Fuente: , año: 2018. Nota: tabla elaborada por el autor, la información presentada es obtenida a través de la herramienta computacional NONLIN V 7.14, y procesada con ayuda de la herramienta computacional Microsoft Excel.
Procedemos a representar gráficamente la información de la tabla N°05:
Imagen N°09: representación gráfica del desplazamiento y evolución de la ductilidad en el tiempo. Caso de Estudio N°02, Ry=6
Fuente: , año: 2018. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. Los gráficos de respuesta en el tiempo fueron elaborados con la herramienta computacional Microsoft Excel, y la data para la construcción de los mismos proviene de la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Entre los aspectos de mayor relevancia que se derivan de la interpretación del mapa conceptual presentado en la imagen N°09 se tiene lo siguiente:
1.- El sistema estructural incursionó treinta y dos veces en el rango de comportamiento inelástico, en el lapso de tiempo de estudio de la influencia de la excitación sísmica, definido para fines prácticos en el orden de quince segundos.
2.- Se aprecian grandes demandas de ductilidad, en el orden de “μ=6”, lo que significa grandes incursiones en el rango de comportamiento inelástico.
3.- Tal incursión en el rango inelástico, produce que las oscilaciones del sistema estructural se den en su mayoría fuera de la posición de cero desplazamientos, lo que sugiere que se producen grandes deformaciones permanentes.
4.- Para un alto valor de “Ry” la demanda de ductilidad fue alta, tal como se planteó en el ítem N°04 del tópico concerniente a “INTERPRETACIONES DE LAS FORMAS ALTERNATIVAS DE PLANTEAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO DINÁMICO”.
CONCLUSIONES
Las conclusiones de mayor importancia que se derivan de este trabajo son las siguientes:
1.- La demanda de ductilidad que desarrolla un sistema estructural está fuertemente influenciada por el factor de reducción de respuesta cedente “Ry” que se establezca en los análisis.
2.-La influencia de este factor “Ry”, se traduce en el hecho de que mientras más grande sea, la estructura alcanzará la cedencia para valores menores de esfuerzos, viéndose por lo tanto exigida a una mayor incursión en el rango de comportamiento inelástico, tal como se demostró en el caso de estudio N°02.
3.- Es importante tener un sentido crítico al momento de definir el valor de “Ry”, dado que el desarrollo de grandes valores de ductilidad, ha de venir acompañado de consideraciones importantes en el diseño sismoresistente, entre las que destaca un adecuado detallado de los elementos estructurales; aspectos en los cuales estaré profundizando en próximas publicaciones.
En la formación como ingenieros sismoresistentes, debemos apostarle en desarrollar un sentido crítico, en la definición de parámetros involucrados en los procesos de análisis y diseño de una estructura. En esta oportunidad desarrollamos sensibilidad hacia el factor de reducción de respuesta cedente “Ry”, la influencia que este tiene en la demanda de ductilidad “μ”; desde un enfoque conceptual a través de la interpretación de los elementos que intervienen en la ecuación diferencial que rige el equilibrio dinámico del sistema, y de soluciones numéricas con ayuda de la herramienta computacional NONLIN V 7.14.
Espero este post haya sido de su agrado, nos leemos en una próxima publicación.
FUENTES DE INFORMACIÓN CONSULTADAS
1.- CHOPRA ANIL K. 2014. DINÁMICA DE ESTRUCTURAS. CUARTA EDICIÓN. PEARSON EDUCACIÓN, MÉXICO.
2.- NORMA VENEZOLANA. EDIFICACIONES SISMORESISTENTES. PARTE 1: REQUISITOS. 1ERA REVISIÓN. COVENIN 1756-1:2001
3.- NONLIN “EDUCATIONAL PROGRAM FOR LEARNING THE CONCEPTS OF STRUCTURAL DYNAMICS AND EARTHQUAKE ENGINEERING”. DEVELOPED BY DR. FINLEY CHARNEY, NONLIN IS AVAILABLE AS ONLINE TOOL THROUGH NEESHUB: HTTP://NEES.ORG/
LECTURAS RECOMENDADAS
4.- SANTANA E. 2018. ESTUDIO DEL AMORTIGUAMIENTO MÁS ALLÁ DEL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UN SISTEMA ESTRUCTURAL CON EL USO DE CICLOS DE HISTÉRESIS. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/estudio-del-amortiguamiento-mas-alla-del-comportamiento-elastico-de-un-sistema-estructural-con-el-uso-de-ciclos-de-histeresis
5.- SANTANA E. 2018. COMPRENDIENDO LAS APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ESTIMACIÓN DEL PERIODO Y FRECUENCIA NATURAL DE UN PÓRTICO PLANO. CASO: SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/comprendiendo-las-aplicaciones-de-las-matematicas-en-la-estimacion-del-periodo-y-frecuencia-natural-de-un-portico-plano-caso
6.- SANTANA E. 2018. APRENDIENDO A CONSTRUIR UN ESPECTRO DE RESPUESTA ELÁSTICO A PARTIR DE LA EXCITACIÓN SÍSMICA DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/aprendiendo-a-construir-un-espectro-de-respuesta-elastico-a-partir-de-la-excitacion-sismica-de-sistemas-de-un-grado-de-libertad
7.- SANTANA E. 2018. ANÁLISIS DE EDIFICACIONES DESDE EL ENFOQUE DE LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE A TRAVÉS DE ESPECTROS DE DISEÑO VENEZOLANOS, SEGÚN COVENIN 1756-1:2001. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/analisis-de-edificaciones-desde-el-enfoque-de-la-ingenieria-sismoresistente-a-traves-de-espectros-de-diseno-venezolanos-seg