INTRODUCCIÓN
En esta oportunidad, estudiaremos la metodología para construir el diagrama de interacción de una columna de concreto armado; tomando como referencia los cuatro puntos notables que definen la región de interacción para distintos valores críticos de carga axial “P” y momento flector “M”; estos puntos notables, se asocian a los estados de falla de compresión, balanceada, flexión pura y tracción de la sección transversal de la columna en cuestión.
Imagen N°01: ideas generales de la temática a estudiar
Fuente: Park y Paulay (1983), adaptada por Santana (2018)
Conviene destacar, que las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas, así como sus relaciones esfuerzo-deformación, estableciendo para el caso particular del acero, una relación de esfuerzos elástica-perfectamente plástica (ver imagen N°01). En la referencia N°05, se abordan aspectos básicos en cuanto al concreto armado, por lo que se recomienda al lector su revisión.
Las aplicaciones en la ingeniería sismoresistente que toman como base los diagramas de interacción, se centran en el punto notable asociado a la falla balanceada, el cual se ilustra en la imagen N°01; este punto representa la frontera entre el comportamiento frágil y el comportamiento dúctil; resaltando que este último es el comportamiento deseado para los elementos estructurales ante acciones sísmicas, ya que representa una forma de disipación de energía más allá del rango elástico.
Por lo tanto, estudiaremos de forma cuantitativa, cómo la carga axial por encima o por debajo de la carga axial balanceada, afecta los valores de curvatura de la sección que se analiza; utilizando para tal fin un gráfico que permita apreciar la evolución de la curvatura para los distintos valores de carga axial. Dado que aquí se requieren cálculos adicionales, a los que se realizan para la obtención de los puntos notables del diagrama de interacción, se utilizará la herramienta computacional Microsoft Excel por medio de una hoja de cálculo (ver referencia N°04); realizando al final un contraste de resultados.
DELIMITACIÓN DE LA TEMÁTICA A ESTUDIAR
Este artículo se enfoca en estudiar el comportamiento de columnas de concreto armado para distintas condiciones de falla en las que se pueden combinar cargas axiales (P) y momentos flectores (M). Las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas, y las mismas se resumen en la tabla N°01. Se recomienda al lector la revisión de la referencia N°05, para profundizar en las ideas generales sobre el concreto armado y las relaciones esfuerzo-deformación para los materiales que lo constituyen.
Tabla N°01: resumen de las propiedades de los materiales a trabajar
Fuente: Santana (2018)
En la imagen N°02 se aprecia un ejemplo de una columna, de sección transversal cuadrada, señalándose entre otros aspectos las características geométricas de la misma y la cantidad de acero de refuerzo.
Imagen N°02: datos geométricos de la sección y acero de refuerzo
Fuente: SIDETUR (2004), adaptada por Santana (2018)
En los cálculos que se desarrollarán más adelante, donde interviene el momento flector, estaremos considerando el sentido reflejado en la imagen N°02, lo que hace que el área de acero inferior “As” se encuentre traccionada y el área de acero superior “A’s” se encuentre comprimida. Se aprecia también que a diferencia de lo que ocurría en una viga (ver referencia N°05), la sección transversal de una columna queda representada por una vista en planta, en la que no se distinguen alturas, sino profundidades de la sección, a las que convenientemente se le has denominado “base vertical, Bv” y “base horizontal, Bh”, trabajando para fines prácticos con una sección cuadrada, ajustada a los requisitos mínimos normativos del apartado 18.4.2 de FONDONORMA 1753:2006, donde se establece que la menor dimensión de la sección transversal a lo largo de una recta que pase por el centro geométrico no sea menor a 30 cm, y que el cociente que resulta de dividir este valor, por una distancia obtenida por el mismo criterio en dirección perpendicular, sea mayor a 0.4. Para el caso en estudio se cumple con estos parámetros:
Adicionalmente el acero de refuerzo, se encuentra en el rango de cuantías mínimas y máximas, establecidas en el apartado 18.8.4 de FONDONORMA 1753:2006; como se demuestra a continuación:
El acero total de la sección es:
Al contrastar esta área de acero total con los valores normativos, se garantiza que la sección de concreto armado, tomada como base para desarrollar las aplicaciones prácticas es sub-reforzada.
NOCIONES GENERALES SOBRE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
Los diagramas de interacción permiten representar la acción conjunta de cargas axiales “P” y momentos flectores “M” que conducen a diversos modos de falla de una columna; delimitándonos en este estudio a la sección típica, mostrada en la imagen N°02, y al material concreto armado. Estos diversos modos de falla, se resumen en cuatro puntos notables, los cuales se ilustran en la imagen N°03:
Imagen N°03: puntos notables del diagrama de interacción
Fuente: Santana (2018)
A continuación realizaremos el abordaje de la metodología para calcular cada uno de estos valores, a través del desarrollo de aplicaciones numéricas.
OBTENCIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
De acuerdo a lo señalado en líneas anteriores, son cuatro los puntos notables del diagrama de interacción, a continuación realizaremos el cálculo detallado de cada uno de ellos, tomando como referencia las especificaciones en cuanto a materiales, y geometría de la sección, señalados en la tabla N°01 y la imagen N°02, respectivamente.
PUNTO N°01: FALLA A COMPRESIÓN
En este estado se supone que la columna falla únicamente por carga a compresión; por lo que el momento flector es cero. La relación esfuerzo-deformación para este estado de falla es la siguiente:
Imagen N°04: relación esfuerzo-deformación para “falla a compresión”
Fuente: Santana (2018)
Se observa en la imagen N°04, cómo la franja de la sección resaltada en color rojo, experimenta una traslación pura en el sentido de la carga aplicada (compresión), originando el agotamiento de la sección; lo cual, en términos de deformaciones se traduce a que el concreto y el acero han alcanzado su deformación última y cedente respectivamente:
Para llegar a este estado de deformaciones, la carga a compresión es la resultante proveniente de la sumatoria:
Calculamos cada una de las componentes de la ecuación N°01, manteniendo coherencia de las unidades, en el sentido de sustituir las longitudes en “cm”, las áreas en “cm2” y los esfuerzos en “kgf/cm2”:
Al sustituir en la ecuación N°01, los valores de las componentes F1, F2 y F3 en términos de “tf” obtenemos:
En lo que respecta a la curvatura de la sección, esta es “0 rad/cm”, dado que la franja roja de la sección no experimenta rotación; este dato lo utilizaremos, en el estudio de la evolución de la curvatura de la misma. En resumen el primer punto notable del diagrama de interacción referido a “falla por compresión”, está representado por:
Adicionalmente, vale la pena introducir un concepto de interés en el estudio de columnas, como lo es el de centroide plástico “CP”; en la imagen N°05 se ilustran los datos necesarios para calcularlo.
Imagen N°05: ilustración didáctica de datos, para definir el centroide plástico
Fuente: Santana (2018)
El cálculo de “CP” viene dado por la siguiente ecuación:
Dónde:
Sustituimos en la ecuación N°02, colocando los valores de longitud en “cm” y los valores de fuerzas en “tf”, obteniendo:
La simetría de las áreas de acero de refuerzo y la presencia de una sección cuadrada, hacen que el centroide plástico “CP”, quede ubicado en el centro de la sección; el significado físico de este valor, estriba en el hecho de que si todas las cargas axiales en el sentido de la compresión, se aplicasen en el centroide plástico, se produciría una compresión pura, como el caso en estudio.
PUNTO N°02: FALLA BALANCEADA
De manera similar a como se hacía en el estudio de vigas (ver referencia N°05), la condición de falla balanceada acá supone que el concreto alcance su deformación última “ϵcu”, en el instante que el acero alcanza su deformación cedente “ϵy”. Sin embargo, más allá de la utilidad que tiene este concepto en la estimación del área de acero balanceado; el cual representa un límite que define la frontera entre secciones sub-reforzadas y sobre-reforzadas, su aplicabilidad trascendental la estaremos profundizando en el tópico concerniente a evolución de la curvatura de la sección.
Imagen N°06: relación esfuerzo-deformación para la condición de falla balanceada
Fuente: Santana (2018)
En la imagen N°06, se ilustra la condición de falla balanceada, por lo que procedemos a calcular la profundidad del eje neutro para esta condición, con la siguiente expresión:
Vale destacar, que el acero en zona de compresión alcanzó la cedencia; y esto se puede demostrar por la siguiente relación de triángulos:
Despajamos “ϵ’s”:
Sustituimos en la ecuación N°03 las unidades de longitud en “cm” referidas a “cb” y “r’”, obteniendo lo siguiente:
Demostrándose que el acero a compresión se encuentra en estado de cedencia; procedemos ahora a calcular las componentes a compresión “F1” y “F2”, sustituyendo las unidades de esfuerzos en “kgf/cm2”, fuerza en “kgf”, área en “cm2” y longitud en “cm”.
En lo que respecta a la componente a tracción, el cálculo se hace respetando la misma lógica de unidades señalada anteriormente, por lo que:
De tal manera que la resultante a compresión, que representa la carga axial balanceada “Pb”, viene dada por la suma algebraica de las componentes de fuerza tanto a tracción como a compresión (ver imagen N°06), sustituyendo en unidades de “tf”:
La obtención del momento balanceado, se hace tomando como referencia el centroide plástico “CP”; en la imagen N°07, se ilustran los brazos de acción de cada una de las componentes, tanto a tracción como a compresión.
Imagen N°07: brazos de acción de las componentes de fuerzas a compresión y tracción
Fuente: Santana (2018)
Por lo tanto el momento balanceado viene dado por:
Al sustituir los valores de fuerza en “kgf” y de longitud en “cm”, se obtiene lo siguiente:
En resumen, el punto notable para la construcción del diagrama de interacción referido a “falla balanceada” viene dado por:
En lo que respecta a la curvatura en condición balanceada, la cual estaremos utilizando al estudiar la evolución de la curvatura de la sección, se plantean en la imagen N°08, los datos necesarios para calcularla.
Imagen N°08: ilustración de datos para la estimación de la curvatura balanceada
Fuente: Santana (2018)
Partiendo de la hipótesis de desplazamientos infinitesimales:
Y aplicando trigonometría, se tiene que la curvatura balanceada “ϕb” es:
Sustituyendo las unidades de longitud en “cm” en la ecuación N°04:
PUNTO N°03: FALLA A FLEXIÓN PURA
El cálculo del momento último “Mu” y la curvatura última “ϕu”, para este estado de falla, sigue el mismo procedimiento de una viga, por lo que se invita la lectura de la referencia N°05, para profundizar en el mismo. A continuación se presentan las relaciones esfuerzo-deformación para este estado, y de forma directa los resultados de interés.
Imagen N°09: relación esfuerzo-deformación para el caso de falla a flexión pura
Fuente: Santana (2018)
El tercer punto notable del diagrama de interacción, viene dado por:
Por su parte la curvatura última para este estado de falla “ϕu”, que utilizaremos al analizar la evolución de la curvatura de la sección, es:
PUNTO N°04: FALLA A TRACCIÓN
En esta condición de falla, se desprecia el aporte a la resistencia a tracción del concreto, por lo que la relación esfuerzo-deformación es:
Imagen N°10: relación esfuerzo-deformación para el estado de falla a tracción
Fuente: Santana (2018)
La componente a tracción “F1” es igual a la componente a tracción “F2”, por lo que la carga axial que produce este estado de falla es:
Estas componentes se obtienen colocando los valores de esfuerzos en “kgf/cm2” y área en “cm2”, empleando las siguientes relaciones:
Por lo tanto, al sustituir en la ecuación N°05, en unidades de “tf” se tiene:
Tal como ocurre en el caso de “falla a compresión”, la falla a tracción se logra al aplicar la fuerza axial “P” obtenida en el centroide plástico de la sección, el cual por la simetría de las áreas de acero de refuerzo y por estar en presencia de una sección cuadrada, se encuentra en el centro de la sección.
SINOPSIS DE RESULTADOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
Tabla N°02: resumen de datos para la construcción del diagrama de interacción
Fuente: Santana (2018)
Al graficar en un sistema de coordenadas los valores de la tabla N°02, se obtiene lo siguiente:
Imagen N°11: diagrama de interacción
Fuente: Santana (2018)
El diagrama de interacción define una región de múltiples posibilidades de combinación de carga axial y momento flector, destacando que estas combinaciones han de estar dentro de esta región, y adicionalmente por debajo del punto de falla balanceada, para garantizar de este modo, un comportamiento dúctil de la sección. En este orden de ideas, la interpretación con aplicaciones en la ingeniería sismoresistente del diagrama de interacción, se hace en función de la frontera que marca el punto notable de falla balanceada, siendo necesario el estudio de la evolución de curvatura de la sección.
REFLEXIONES SOBRE LA EVOLUCIÓN DE LA CURVATURA DE LA SECCIÓN
Una vez familiarizados con el proceso de obtención de los puntos notables del diagrama de interacción, resulta de interés profundizar en las curvaturas que presenta la sección, para distintos valores de carga axial, observando en la imagen N°12, que las curvaturas por encima del punto balanceado, son curvaturas últimas (ϕu), es decir no hay un punto de cedencia lo que se traduce en fallas de tipo frágil; mientras que los puntos que se encuentran por debajo del punto balanceado, poseen una curvatura cedente (ϕy), y una curvatura última (ϕu); lo que denota la existencia de ductilidad (capacidad de incursionar de la sección en el rango inelástico una vez alcanzada la cedencia), obtenida por la siguiente ecuación:
Imagen N°12: representación didáctica de la evolución de la curvatura de la sección
Fuente: Santana (2018)
Se demuestra por lo tanto que el concepto de falla balanceada en columnas, trasciende el hecho de únicamente chequear que el acero de refuerzo sea menor al acero balanceado para asegurar que la sección sea sub-reforzada; y se enfoca en establecer un rango de valores de carga axial, entre los que se debate por un comportamiento frágil ó dúctil de la sección; destacando que el comportamiento de interés en la práctica de la ingeniería sismoresistente, es el comportamiento dúctil, caracterizado por una incursión significativa en el rango de comportamiento inelástico; adicionalmente, porque las columnas, son a modo de metáfora como los pies de una estructura aporticada, y si fallan, significaría el colapso de esta. Estimemos a continuación, la evolución de la curvatura de la sección, para el caso en estudio, representado por una columna de concreto armado de sección cuadrada.
DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA DE LA INFLUENCIA DE LOS VALORES DE CARGA AXIAL “P” EN LA CURVATURA DE LA SECCIÓN CON AYUDA DE LA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL MICROSOFT EXCEL
Para este fin, utilizaremos la herramienta computacional Microsoft Excel, a través de una hoja de cálculo elaborada por el profesor Santiago Pujol en el año de 1997 (ver referencia N°04). A continuación se ilustra la manera de introducir la información en la hoja de cálculo en cuestión:
Imagen N°13: introducción de geometría y áreas de acero de refuerzo
Fuente: Pujol (1997), adaptado por Santana (2018)
La introducción de los datos correspondientes a las propiedades mecánicas de los materiales constituyentes del concreto armado, es de la siguiente manera:
Imagen N°14: introducción de las propiedades mecánicas del concreto y el acero de refuerzo
Fuente: Pujol (1997), adaptado por Santana (2018)
Las propiedades indicadas en la imagen N°14, coinciden con las señalas en la tabla N°01.Finalmente la variación de los valores de carga axial, para la obtención de los distintos valores de curvatura, se desarrolla para los siguientes casos de interés:
CASO N°01: P = 100 tf; una carga axial por encima del punto balanceado
Imagen N°15: identificación de puntos de interés, diagrama Momento-Curvatura, caso N°01
Fuente: Pujol (1997), adaptado por Santana (2018)
CASO N°02: P=81.28 tf, la carga axial coincide con el punto balanceado
Imagen N°16: identificación de puntos de interés, diagrama Momento-Curvatura, caso N°02
Fuente: Pujol (1997) adaptado por Santana (2018)
CASO N°03: P=50.00 tf, la carga axial está por debajo del punto balanceado, es decir, se produce desarrollo de ductilidad, por lo que identificaremos un punto de cedencia y un punto de falla última.
Imagen N°17: identificación de puntos de interés, diagrama Momento-Curvatura, caso N°03
Fuente: Pujol (1997) adaptado por Santana (2018)
CASO N°04: P=0.00 tf, la carga axial es cero, es decir, estamos en el caso de flexión pura (comportamiento de la columna similar al de un viga).
Imagen N°18: identificación de puntos de interés, diagrama Momento-Curvatura, caso N°04
Fuente: Pujol (1997), adaptado por Santana (2018)
Procedemos a realizar un resumen de los resultados obtenidos, para cada caso de variación de la carga axial:
Tabla N°03: resumen de datos para el estudio de la evolución de la curvatura de la sección
Fuente: Pujol (1997), adaptado por Santana (2018)
El gráfico que se deriva de la tabla N°03, se representa en la imagen N°19:
Imagen N°19: evolución de la curvatura de la sección
Fuente: Pujol (1997) adaptada por Santana (2018)
En la medida que nos alejamos del punto de falla balanceada, las curvas del gráfico de la imagen N°19 se van distanciando, lo que se traduce en un aumento de ductilidad, como se demuestra a continuación:
Vale acotar que los valores obtenidos de forma manual, al contrastarlos con los presentados en la tabla N°03, obtenidos con la hoja de cálculo de Pujol (1997), presentan una mínima variación, producto de lo refinado del modelo matemático con que la hoja de cálculo en cuestión fue programada; no obstante se aprecia que las diferencias son menores al 5% (ver tabla N°04).
Tabla N°04: contraste de resultados forma manual vs. hoja de cálculo
Fuente: Pujol (1997), adaptada por Santana (2018)
CONCLUSIONES
Las conclusiones de mayor relevancia de aplicación en la ingeniería sismoresistente que se derivan de este trabajo son:
1.- El punto de falla balanceada en columnas define la frontera entre los mecanismos de falla frágil y falla dúctil.
2.- En la medida que los valores de carga axial tienden a cero, la ductilidad de la sección aumenta de forma directa proporcional, dado que el comportamiento se asemeja cada vez más al de una viga, sometida únicamente a esfuerzos de flexión pura.
3.- El diseño por capacidad se basa en prevenir los mecanismos de fallas frágiles, y favorecer los mecanismos de falla dúctil; de allí la importancia de conocer los diagramas de interacción de las columnas; así como las curvaturas que esta desarrolla para distintos valores de carga axial.
4.- El diagrama de interacción define una región, donde se pueden combinar diversos valores de carga axial y momento flector; lo cual es de gran utilidad en las labores de diseño sismoresistente, en las que se evalúa una sección determinada para distintos casos de combinaciones de carga (Cargas Permanente, Cargas Variables, Carga Sísmica).
5.- Uno de los aspectos que hacen vulnerables las edificaciones de concreto armado ante acciones sísmicas, es la presencia de columnas cortas; tema que esteré profundizando en otra oportunidad tomando como referencia los aspectos estudiados en este trabajo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.- PARK R. Y PAULAY T. ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO. EDITORIAL LIMUSA. MÉXICO, 1983.
2.- SIDETUR, EXCELENCIA SIDERÚRGICA. CATÁLOGO DE PRODUCTOS Y TABLAS DE DISEÑO. CARACAS, VENEZUELA. 2004.
3.- NORMA VENEZOLANA “PROYECTO Y CONSTRUCCIÓN DE OBRAS EN CONCRETO ESTRUCTURAL. FONDONORMA 1753:2006. 1ERA REVISIÓN.
4.-PUJOL SANTIAGO, 1997. HOJA DE CÁLCULO, PARA LA OBTENCIÓN DE DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA. FACILITADA POR MARINILLI ANGELO (2014). CURSO: CONCRETO ARMADO AVANZADO, POSTGRADO INGENIERÍA SISMORESISTENTE. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA.
5.- SANTANA ELÍAS, 2018. ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO DE SECCIÓN RECTANGULAR, TOMANDO COMO REFERENCIA LOS ESTADOS DE AGRIETAMIENTO, CEDENCIA Y AGOTAMIENTO DE LA SECCIÓN. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/estudio-del-comportamiento-de-vigas-de-concreto-armado-de-seccion-rectangular-tomando-como-referencia-los-estados-de