INTRODUCCIÓN
A continuación estudiaremos la forma como influye la cantidad de acero longitudinal colocado en una viga de concreto armado, en el comportamiento dúctil que esta pueda desarrollar; contrastando los resultados de una sección simplemente armada con respecto a los de una sección doblemente armada. Nos valdremos de la utilidad de los diagramas momento-curvatura, para una mejor visualización de los resultados, representados por los momentos y curvaturas de las secciones para los estados de agrietamiento, cedencia y agotamiento de la sección (falla última), describiendo su metodología de cálculo; promoviendo así el desarrollo de un sentido crítico en lo que respecta a los parámetros involucrados en el estudio de vigas de concreto armado sometidas a flexión pura, entre los que destacan: la cantidad de acero longitudinal en términos de áreas, la resistencia a compresión del concreto “f’c”, el limite cedente del acero “fy” y la geometría de la sección que se evalúa. En la imagen N°01, se aprecian las ideas generales que estaremos abordando.
Imagen N°01: ideas generales a estudiar
Fuente: Park y Paulay (1983), SIDETUR (2004), adaptada por Santana (2018)
Se recomienda al lector la revisión de la referencia N°05, a los fines de profundizar en aspectos relacionados a procesos de deformación de los elementos estructurales, más allá del rango elástico, y de esta manera familiarizarse especialmente con los modelos teóricos de fuerza-deformación y el concepto de ductilidad.
DELIMITACIÓN DE LA TEMÁTICA A ESTUDIAR
Este trabajo se enfoca en estudiar el comportamiento estructural de elementos horizontales de sección rectangular, sometidos a esfuerzos de flexión (M), como se muestra en la imagen N°02.
Imagen N°02: representación de los esfuerzos de flexión en un elemento horizontal
Fuente: Santana (2018)
Observamos que cuando el momento “M” es cero, la sección no experimenta curvatura (la franja roja de la sección permanece vertical); mientras que en el caso que el momento “M” es mayor a cero, si existe curvatura (la franja roja de la sección experimenta rotación), es decir, para este sentido del momento, las fibras superiores del elemento horizontal están experimentando esfuerzos de compresión y las fibras inferiores esfuerzos de tracción; este accionar simultáneo de esfuerzos de compresión y tracción, es lo que conocemos como flexión.
En las edificaciones, los elementos horizontales que están destinados principalmente a soportar los esfuerzos de flexión reciben el nombre de “vigas”; delimitándonos en este estudio a aquellas construidas de concreto armado; cuya disposición del acero longitudinal, permite clasificarlas en vigas simple y doblemente armadas, como se aprecia en las secciones transversales presentadas en la imagen N°03:
Imagen N°03: representación de secciones simple y doblemente armadas
Fuente: Santana (2018)
Una sección simplemente armada, se caracteriza por poseer sólo área de acero inferior, lo cual podemos catalogar como una sección teórica, porque en la práctica de la ingeniería, FONDONORMA 1753:2006 en su apartado 10.4.3.1 exige por lo menos una cabilla en cada esquina de la sección transversal; obteniendo secciones doblemente armadas, que poseen área de acero inferior “As” y área de acero superior “A’s”; no obstante vamos a estudiar los distintos estados de resistencia para ambos tipos de secciones a los fines de contrastar resultados.
En la imagen N°03, se desarrolla el cálculo del área de acero mínimo normativo. Al comparar este resultado con el área de acero inferior (encargado de soportar los esfuerzos a tracción, de acuerdo al sentido de momento) de cada una de las secciones transversales, permite concluir que se cumple con este chequeo estipulado en el apartado 10.3 de FONDONORMA 1753:2006.
IDEAS SOBRE EL CONCRETO ARMADO
El concreto armado, es un material que resulta de la interacción del concreto propiamente dicho (excelente para resistir esfuerzos de compresión) y el acero de refuerzo (excelente para resistir esfuerzos de tracción), utilizado en formas de barras de refuerzo, comúnmente denominadas “cabillas”, ilustradas en la imagen N°04:
Imagen N°04: acero de refuerzo, usado en Venezuela
Fuente: SIDETUR (2004), adaptado por Santana (2018)
En la imagen N°04, el recuadro verde, encierra las diferentes denominaciones de cabillas y en el recuadro azul se aprecia sus equivalencias en términos de áreas. El recuadro rojo, representa el límite cedente del acero (fy), el cual una vez alcanzado, marca el inicio de la incursión del acero en el rango inelástico; es por ello, que este punto, también lo podemos denominar límite de elasticidad. Asumiremos para el acero de refuerzo una distribución de esfuerzos elástica-perfectamente plástica, como se aprecia en la imagen N°05.
Imagen N°05: distribución de esfuerzos a considerar en el acero
Fuente: Santana (2018)
Como premisa general, cuando estamos en el rango elástico, nos fundamentamos en la proporcionalidad que existe entre esfuerzos y deformaciones, por medio del módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal; de la siguiente forma:
Dónde:
σ, esfuerzo
ϵ, deformación
E, módulo de elasticidad lineal o módulo de Young. Para el acero se considera un valor “Es=2100000 kgf/cm2”, y para el concreto, “Ec” se obtiene de forma indirecta a partir de la resistencia a compresión, con la ecuación N°02.
A través de la ecuación N°01 se estima la deformación cedente del acero de refuerzo (ver imagen N°05). Conviene señalar, que la cantidad de acero longitudinal, es importante contextualizarla en términos de una sección sub- reforzada, balanceada o sobre-reforzada; centrándonos en este estudio en las secciones sub-reforzadas, en las cuales se alcanza el estado de cedencia del acero antes de la deformación última del concreto. Al respecto tomemos como referencia la siguiente distribución esfuerzo deformación para el concreto:
Imagen N°06: relación esfuerzo-deformación para el concreto
Fuente: Park y Paulay (1983), adaptada por Santana (2018)
Se observa en el tramo resaltado por el óvalo rojo del gráfico de la imagen N°06, que el concreto en rango elástico, ha de presentar un módulo de elasticidad (Ec), el cual la sección 8.5 de FONDONORMA 1753:2006, lo define en función de la resistencia a la compresión f’c (Ecuación N°02). Al estudiar el comportamiento de las secciones para el estado de cedencia, aceptaremos un comportamiento elástico del concreto, cuando el cociente que resulta de dividir el esfuerzo desarrollado a compresión (Fc) por la resistencia a compresión (f’c) sea menor a 0.70.
De acuerdo al gráfico de la imagen N°06, se tiene que la deformación última del concreto (ϵcu=0.0038), se establece para el ochenta y cinco por ciento de la resistencia máxima a compresión (f’c); para este estudio, utilizaremos “ϵcu” basados en lo establecido en la sección 10.2.1 de FONDONORMA 1753:2006, donde se señala que “la deformación máxima del concreto en su fibra extrema más comprimida, se supondrá igual a ϵcu=0.003”.
Adicionalmente cuando se llega a estos estados de deformación en el concreto, la distribución de esfuerzos para la zona en compresión, se puede representar con un bloque equivalente rectangular de esfuerzos (ver imagen N°07).
Imagen N°07: introducción al uso del bloque equivalente de esfuerzo
Fuente: Park y Paulay (1983), adaptado por Santana (2018)
La altura del bloque equivalente rectangular de esfuerzos (βc), depende de la profundad del eje neutro (c), y de un factor (β), el cual se encuentra establecido en la sección 10.2.3 de FONDONORMA 1753:2006, señalando que para concretos con una resistencia a compresión (f’c) menor a 280 kgf/cm2, se tiene un β=0.85. Otro aspecto de importancia que se desprende de la imagen N°07, es que para el instante en el cual el acero alcanza la cedencia, y comienza su incursión significativa en el rango inelástico, la pérdida del recubrimiento de la sección, es evidente; e incluso, esto representa el primer estado de falla (estado de agrietamiento); esta pérdida del recubrimiento se debe al hecho de que de acuerdo al sentido del momento, la fibra inferior de la sección (la más alejada del eje neutro), está exigida por esfuerzos de tracción y estos deben ser resistidos por el concreto que forma parte del recubrimiento. La resistencia máxima a tracción del concreto, para secciones sometidas a flexión pura, recibe el nombre de módulo de rotura, y se calcula de forma aproximada con la ecuación N°03; la cual tiene su sustento, en base a experimentos realizados, que han permitido concluir que la resistencia a tracción del concreto, es un pequeño porcentaje de la resistencia a compresión.
Para el estado de falla referido al agrietamiento de la sección (pérdida del recubrimiento), interviene en el aporte de resistencia únicamente el concreto, a través de su módulo de rotura. Esto conduce a la idea, de visualizar la sección original, como una sección homogénea, de un único material; lo cual se logra con la técnica de la sección transformada. Según Nilson (1999), cuando el concreto y el acero, son sometidos a ensayos de cargas monotónicamente crecientes, en algún punto de su comportamiento elástico, ocurre que sus deformaciones son las mismas, por lo tanto, partiendo del principio de elasticidad de Young (ver ecuación N°01) se tiene:
Según lo señalado por Nilson (1999):
Por lo que el esfuerzo del acero “fs” se puede expresar así:
El cociente que resulta de dividir el módulo de elasticidad del acero por el módulo de elasticidad del concreto, se conoce como relación modular “n”, por lo que la ecuación N°04 se reescribe de la siguiente forma:
Basados en este argumento una sección de concreto armado, en términos de sección transformada se puede representar así:
Imagen N°08: ilustración del concepto de sección transformada
Fuente: Nilson (1999), adaptada por Santana (2018)
Los conceptos plasmados en la imagen N°08, también se pueden extrapolar a secciones doblemente armadas, teniendo en consideración que las áreas de acero, deben estar multiplicadas por el factor “n-1”. Para el caso en estudio:
Finalmente el momento de agrietamiento es calculado con la fórmula clásica de flexión:
La cuál ajustada a las variables con las que estamos trabajando:
Despejamos “Ma”:
Dónde:
Ma, momento de agrietamiento
y, distancia de la fibra más traccionada al eje neutro
I, inercia de la sección con respecto al eje neutro
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO DE AGRIETAMIENTO, SECCIÓN SIMPLEMENTE ARMADA
Los conceptos abordados en los párrafos anteriores en cuanto al estado de agrietamiento, los aplicamos en esta oportunidad, para la sección simplemente armada.
Imagen N°09: estado de agrietamiento sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
Para la aplicación de la ecuación N°06, debemos calcular la distancia “y” con la ecuación N°07; para lo cual es necesario hacer la identificación de áreas y valores de “y”, como se aprecia en la imagen N°10:
Dónde:
At=área total
Imagen N°10: identificación de área y valores de “y parciales”, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
Sustituyendo en la ecuación N°07:
Dado que la sección transformada no es rectangular, producto de las áreas de color rojo que sobresalen (ver imagen N°10) es necesario usar el teorema de Steiner; por lo que en la imagen N°11 se ilustran los conceptos involucrados en la ecuación N°08:
Imagen N°11: visualización de datos, para el cálculo de la inercia, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
Procedamos a sustituir en la ecuación N°08, manteniendo coherencia en las unidades, a través de la sustitución de los valores de área en “cm2” y de longitud en “cm”.
Calculamos el módulo de rotura con la ecuación N°03, sustituyendo el valor de “f’c” en unidades de “kgf/cm2”:
Los datos obtenidos se sustituyen en la ecuación N°06, cuya simplificación de unidades permite obtener el momento en “kgf.cm”:
La curvatura de agrietamiento (ϕa), es el ángulo que se forma producto de la rotación de la sección (ver imagen N°14), y se puede calcular en base a la siguiente suposición, válida para deformaciones infinitesimales, que es el caso en estudio:
Por lo tanto, por trigonometría (ver imagen N°14):
La deformación de agrietamiento “ϵa”, se estima usando la ecuación N°01, donde el esfuerzo “σ”, está representado por “fr”:
Aplicamos la ecuación N°09, sustituyendo el valor de “y” en “cm”:
En resumen, tenemos:
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO DE AGRIETAMIENTO, SECCIÓN DOBLEMENTE ARMADA
Realizamos con ayuda de la imagen N°12, un estudio de las variables involucradas para calcular la profundidad del eje neutro, en este estado de falla.
Imagen N°12: identificación de área y valores de “y parciales”, sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
Se calcula “y”, el cual coincide con “y1” por la simetría de las áreas:
Procedemos a calcular la inercia con respecto al eje neutro, haciendo uso del teorema de Steiner, sustituyendo los valores de áreas en “cm2” y de longitud en “cm”.
Imagen N°13: visualización de datos, para el cálculo de la inercia, sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
Calculamos inercia con respecto al eje neutro de la forma:
El cálculo del momento y curvatura de agrietamiento se resume didácticamente en la imagen N°14:
Imagen N°14: ilustración del cálculo del momento y curvatura de agrietamiento
Fuente: Santana (2018)
En resumen, tenemos:
AFIANZANDO LA DIFERENCIA ENTRE UNA SECCIÓN SUB-REFORZADA Y SOBRE-REFORZADA
Para la comprensión de esta diferencia, es necesario introducir el concepto de falla balanceada, representativo de un estado crítico, en el que simultáneamente el concreto alcanza la deformación última (ϵcu) y el acero la deformación cedente (ϵy). En la imagen N°15, se presenta la relación esfuerzo-deformación para este estado de falla balanceada, tomando como referencia una sección simplemente armada, cuyos supuestos teóricos se extrapolan perfectamente a una sección doblemente armada.
Imagen N°15: relación esfuerzo-deformación, falla balanceada “sección simplemente armada”
Fuente: Santana (2018)
Las resultantes de las fuerzas a compresión y tracción son:
Por equilibrio:
Despejamos “As”:
Para este estado de deformaciones, “As” representa el área de acero balanceado, por lo que podemos representarlo como “Asb”. Procedamos por relaciones de triángulo a estimar la profundidad del eje neutro “c” para la condición de falla balanceada, sustituyendo el valor de altura útil “d” en “cm”.
Conociendo β=0.85, f’c=250 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2, cb=33cm, b=40cm, procedemos a sustituir en la ecuación N°10:
Este valor de acero, es una referencia para garantizar el desarrollo adecuado de ductilidad en una viga de concreto armado. Cuando el acero de refuerzo de la sección que se estudia coincide con el área de acero balanceada, se crea un estado de falla en el cual el concreto alcanza su deformación última (ϵcu), cuando el acero apenas ha alcanzado su deformación cedente (ϵy), por lo que no existe desarrollo de ductilidad, es decir no hay una incursión significativa en el rango de comportamiento inelástico.
Imagen N°16: diagrama momento curvatura, estado de falla balanceada
Fuente: Santana (2018)
Por otro lado, cuando el acero de refuerzo de la sección es superior al área de acero balanceado, se tiene que el concreto alcanza su deformación última (ϵcu), pero el acero ni siquiera llega a la deformación cedente (ϵy), por lo que no existe punto cedente, lo que se traduce en una ductilidad igual a cero. Este tipo de secciones, que presentan tal cantidad de acero se conocen como sobre-reforzadas.
Por su parte, cuando el área de acero de refuerzo de la sección es menor al área de acero balanceado, se origina en primera instancia la cedencia del acero (ϵy), mucho antes de que el concreto alcance su deformación última (ϵcu); posterior a ello el acero comienza su incursión en el rango inelástico, que finaliza una vez el concreto alcance su deformación última. Este tipo de secciones se conoce como sub-reforzadas, representan a las de este estudio y su diagrama momento curvatura típico es:
Imagen N°17: diagrama Momento-Curvatura sección sub-reforzada
Fuente: Santana (2018)
Al comparar el acero de refuerzo de las secciones a las que previamente se les calculó el momento y curvatura de agrietamiento, con el acero balanceado, se puede concluir que son secciones sub-reforzadas, que tendrán un punto de cedencia y un punto de falla última en sus diagramas momento-curvatura; por lo que a continuación procedemos a realizar los cálculos para cada uno de estos estados de falla.
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO Y CURVATURA CEDENTE. SECCIÓN SIMPLEMENTE ARMADA
Se representan en la imagen N°18 las relaciones esfuerzos-deformación, que experimenta la sección en estudio:
Imagen N°18: relación esfuerzo-deformación, estado de cedencia “sección simplemente armada”
Fuente: Santana (2018)
Se plantean como suposición de partida, que el concreto se encuentra en rango elástico. La resultante a compresión viene dada por:
Por relación de triángulos y sustituyendo la altura útil “d” en “cm”, se tiene que:
Aplicando el principio de elasticidad de Young:
El módulo de elasticidad del concreto “Ec” viene dado por:
Podemos expresar “Fc” en función del eje neutro “c”, sustituyendo la ecuación N°12 en N°13, respetando en expresar las unidades de longitud en “cm”, y esfuerzo en “kgf/cm2”:
En este sentido, al sustituir la ecuación N°14 en N°11, y expresando la base “b” en “cm”, la componente a compresión se expresa de la siguiente manera:
Vale destacar que al momento de sustituir las unidades, se debe respetar que las longitudes estén en “cm”, las áreas en “cm2” y los esfuerzos en “kgf/cm2” para que la componente a compresión dada por la ecuación N°15, quede en términos de “kgf”. Por su parte la componente a tracción “T” expresada en “kgf”, depende de “As” en unidades de “cm2” y “fy” en unidades de “kgf/cm2”:
Al plantear el equilibrio estático entre las fuerzas de tracción y compresión, se tiene lo siguiente:
Reescribimos para obtener un polinomio de grado 2:
Al resolver este polinomio obtenemos dos valores para “c”:
La solución 2, es la que tiene sentido físico, por lo que las sustituimos en la ecuación N°14, para obtener el esfuerzo a compresión “Fc”:
La suposición realizada, referida a que el concreto se encuentra en rango elástico, se chequea a continuación:
Dado que el cociente que resulta de dividir el esfuerzo a compresión desarrollado “Fc” por la resistencia a compresión “f’c” es menor a 0.70 se confirma la suposición realizada. Procedemos a calcular el momento cedente (My), siendo necesaria la siguiente imagen para ver de mejor manera los datos a utilizar:
Imagen N°19: datos involucrados en el cálculo de “My”, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
La resultante a compresión “F1” en términos de “kgf”, se calcula haciendo uso de la ecuación N°11, respetando la lógica de unidades consistente en introducir valores de longitud en “cm”, área en “cm2” y esfuerzo en “kgf/cm2”.
Por lo tanto el momento cedente “My”, viene dado por:
La curvatura cedente se obtiene por trigonometría (ver imagen N°19); introduciendo el valor de cateto adyacente en “cm”:
Imagen N°20: datos involucrados en el cálculo de curvatura cedente, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
En resumen se tiene que:
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO Y CURVATURA CEDENTE. SECCIÓN DOBLEMENTE ARMADA
Se representan en la imagen N°21 las relaciones esfuerzos-deformación, que experimenta la sección en estudio:
Imagen N°21: relación esfuerzo-deformación, estado de cedencia “sección doblemente armada”
Fuente: Santana (2018)
Se plantean las siguientes suposiciones:
a.- Concreto en rango elástico
b.- A’s está a compresión
c.- A’s está en rango elástico
En base a estas suposiciones la resultante a compresión viene dada por:
Por relación de triángulos, y sustituyendo los valores de altura útil “d” en “cm” se tiene que:
Aplicamos el principio de elasticidad de Young para el concreto en la zona de compresión:
Conocido “Ec”, se sustituye la ecuación N°17 en N°19 de la forma:
En lo que respecta al acero a compresión “A’s”, la suposición planteada nos permite aplicar el principio de elasticidad de Young, por lo tanto:
Conocido “Es” y sustituyendo la ecuación N°18 en N°21, se obtiene:
Conocido los valores de “b” en “cm”, “A’s” en “cm2” y sustituyendo en la ecuación N°16, las ecuaciones N°20 y N°22, la componente a compresión se puede expresar así:
Reescribiendo:
Vale destacar que al momento de sustituir las unidades, se debe respetar que las longitudes estén en “cm”, las áreas en “cm2” y los esfuerzos en “kgf/cm2”, para que la componente a compresión dada por la ecuación N°16, quede en términos de “kgf”. Por su parte la componente a tracción “T”, depende de “As” en unidades de “cm2” y “fy” en unidades de “kgf/cm2”, para que la componente a tracción quede en términos de “kgf”.
Al plantear el equilibrio estático entre las fuerzas de tracción y compresión, se tiene lo siguiente:
Reescribimos para obtener un polinomio de grado 2:
Al resolver este polinomio obtenemos dos valores para “c”:
La solución 2, es la que tiene sentido físico, por lo que las sustituimos en la ecuación N°20, para obtener el esfuerzo a compresión “Fc”:
La suposición realizada en cuanto al concreto en rango elástico, es confirmada con el siguiente chequeo:
El hecho de que la profundidad del eje neutro sea mayor a los 5 cm, confirma la segunda suposición, referida a que el acero superior está a compresión. Finalmente verifiquemos que este se encuentre en rango elástico, sustituyendo el valor de profundidad del eje neutro “c” en la ecuación N°22:
Confirmadas las suposiciones establecidas, procedemos a calcular los componentes de la resultante a compresión, manteniendo consistencia en las unidades a utilizar.
En la imagen N°22 se ilustran estas resultantes, con sus respectivos brazos de acción para el cálculo del momento cedente:
Imagen N°22: datos involucrados en el cálculo de “My”, sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
Haciendo momento en el acero inferior se tiene que:
La curvatura cedente se obtiene, a través de trigonometría (ver imagen N°23):
Imagen N°23: datos involucrados en el cálculo de curvatura cedente, sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
En resumen se tiene que:
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO Y CURVATURA ÚLTIMA. SECCIÓN SIMPLEMENTE ARMADA
En la imagen N°24, se ilustran las relaciones esfuerzo-deformación para este estado de falla.
Imagen N°24: relación esfuerzo-deformación, estado último “sección simplemente armada”
Fuente: Santana (2018)
La resultante de la componente a compresión, viene dada por:
Vale destacar que al momento de sustituir las unidades, se debe respetar que las longitudes estén en “cm”, las áreas en “cm2” y los esfuerzos en “kgf/cm2” para que la componente a compresión dada por la ecuación N°23, quede en términos de “kgf”.
Por su parte la resultante de la componente a tracción, expresando el “As” en “cm2” y “fy” en “kgf/cm2”, viene dada por:
Partiendo del concepto de equilibrio:
Sustituimos los valores conocidos “b”, “f’c”, en unidades de “cm” y “kgf/cm2” respectivamente:
Despejamos “c”:
Por lo tanto al sustituir en la ecuación N°23, respetando la lógica de unidades señaladas en líneas anteriores, el valor de “F1” es:
El brazo con respecto a “F1”, tomando como referencia el acero inferior, se ilustra en la siguiente imagen:
Imagen N°25: datos involucrados en el cálculo de “Mu”, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
Trabajando con la resultante a compresión en “kgf” y el “brazo 1” en “cm”, el momento último “Mu” es:
La curvatura última la calculamos por trigonometría:
Imagen N°26: datos involucrados en el cálculo de curvatura última, sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
Así que:
ESTIMACIÓN DEL MOMENTO Y CURVATURA ÚLTIMA. SECCIÓN DOBLEMENTE ARMADA
En la imagen N°27, se ilustran las relaciones esfuerzo-deformación para este estado de falla.
Imagen N°27: relación esfuerzo-deformación, estado último “sección doblemente armada”
Fuente: Santana (2018)
Se plantean las siguientes hipótesis de partida:
a.- A’s está a compresión
b.- A’s no alcanza la cedencia
En base a esto, la resultante a compresión “C” viene dada por:
Aplicamos relación de triángulos, para plantear el esfuerzo del acero a compresión, y su respectiva deformación, en términos de profundidades del eje neutro “c”:
Despejamos “ϵ’s”:
Dado que “A’s” se supone en rango elástico (no alcanza la cedencia), nos valemos del principio de elasticidad de Young, contextualizada al caso en estudio:
Sustituimos ecuación N°25 en N°26, de la forma:
Conocidos los valores de “f’c” en “kgf/cm2”, “b” en “cm”, “A’s” en “cm2”, procedemos a sustituir la ecuación N°27 en N°24, obtenemos:
Reescribimos:
Es importante respetar el uso de unidades al momento de sustituir en la ecuación N°28; expresando la longitud en “cm”, área “cm2” y esfuerzo en “kgf/cm2”, para que las componentes a compresión queden expresadas en términos de “kgf”. Estas componentes las podemos plantear por separado, lo cual será de utilidad al calcular el momento último (Mu).
Por su parte la componente a tracción está dada por:
Sustituyendo los valores conocidos de área en “cm2” y esfuerzo en “kgf/cm2”, para que quede expresada en términos de “kgf”, se obtiene lo siguiente:
Partiendo del concepto de equilibrio:
Sustituimos:
Al reescribir esta expresión, obtenemos un polinomio de orden 2, de forma:
Las raíces del polinomio son:
La solución 2, es la que tiene sentido físico, y permite comprobar la suposición de que el acero superior se encuentra en compresión. Y al sustituir en la ecuación N°27, confirmamos también la suposición de que este acero se encuentra en rango elástico dado que el resultado obtenido es menor al límite de cedencia.
Confirmadas las suposiciones establecidas, sustituimos en las ecuaciones N°29 y N°30, para encontrar las componentes a compresión:
En la imagen N°28 se ilustran estas resultantes, con sus respectivos brazos de acción para el cálculo del momento último:
Imagen N°28: datos involucrados en el cálculo de “Mu”, sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
Haciendo momento en el acero inferior se tiene que:
Tomando como referencia la imagen N°26, y por trigonometría, la curvatura última es:
RESUMEN DE RESULTADOS
En la tabla N°01, se presentan los valores de momentos y curvatura, tanto para la sección simplemente armada, como la sección doblemente armada:
Tabla N°01: resumen de resultados
Fuente: Santana (2018)
A continuación se presentan los diagramas momento-curvatura para cada uno de los casos estudiados:
Imagen N°28: diagrama momento curvatura sección simplemente armada
Fuente: Santana (2018)
La ductilidad de la sección simplemente armada viene dada por:
En lo que respecta al diagrama momento-curvatura de la sección doblemente armada, se tiene lo siguiente:
Imagen N°29: diagrama momento curvatura sección doblemente armada
Fuente: Santana (2018)
La ductilidad de la sección doblemente armada viene dada por:
CONCLUSIONES
Basados en los cálculos realizados, se derivan varias conclusiones de importancia, que sirven de base para adentrarnos en tópicos más avanzados en el diseño sismoresistente de edificaciones, referidos al comportamiento inelástico que experimentan los elementos estructurales para disipar la energía transmitida por movimientos fuertes del terreno. En este trabajo, nos centramos en estudiar el comportamiento de una viga, para tres estados fundamentales de falla, como son: agrietamiento, cedencia y agotamiento de la sección (falla última), y las conclusiones que se derivan son:
1.- El momento de agrietamiento “Ma”, que tiene una viga de concreto armado, depende esencialmente de la resistencia a tracción que pueda desarrollar el concreto, conocida como módulo de rotura.
2.- El eje neutro, representa una franja de la sección, libre de deformación, que marca la frontera entre la tracción y la compresión, dependiendo el sentido del momento. En este estudio se asumió que por arriba del eje neutro se desarrollan los esfuerzos a compresión, y por debajo los esfuerzos a tracción.
3.- En el diseño sismoresistente, el momento puede experimentar cambio de sentido, de allí la importancia de definir secciones de vigas doblemente armadas.
4.- La ductilidad de la sección doblemente armada es mayor a la de la sección simplemente armada, lo que significa que la colocación de acero superior, más allá de aportar resistencia, su función es proporcionar un comportamiento dúctil en la sección.
5.- Es importante al definir el acero longitudinal de una viga, que este sea menor al área de acero balanceado, para de este modo garantizar un comportamiento dúctil del elemento estructural en cuestión.
6.- Los valores de momentos obtenidos fijan un límite de resistencia para cada estado de falla, es decir, si las acciones externas (cargas aplicadas por el uso de la edificación, sismos), exceden por ejemplo el momento de agrietamiento calculado, ocurrirá la pérdida del recubrimiento.
7.-El comportamiento dúctil de una viga, consiste en buscar que si esta falla, sea por flexión y no por corte (falla frágil).
8.- En una viga, el acero responsable de resistir el corte, es el acero transversal, sobre el cual estaré profundizando en un próximo post, especialmente en las exigencias normativas a nivel de detallado.
FUENTES CONSULTADAS
1.- PARK R. Y PAULAY T. ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO. EDITORIAL LIMUSA. MÉXICO, 1983.
2.- NILSON ARTHUR. DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO. DUODÉCIMA EDICIÓN. MCGRAW-HILL INTERAMERICANA. COLOMBIA, 1999.
3.- SIDETUR, EXCELENCIA SIDERÚRGICA. CATÁLOGO DE PRODUCTOS Y TABLAS DE DISEÑO. CARACAS, VENEZUELA. 2004.
4.- NORMA VENEZOLANA “PROYECTO Y CONSTRUCCIÓN DE OBRAS EN CONCRETO ESTRUCTURAL. FONDONORMA 1753:2006. 1ERA REVISIÓN.
5.- SANTANA ELÍAS. ESTUDIO DEL AMORTIGUAMIENTO MÁS ALLÁ DEL COMPORTAMIENTO ELÁSTICO DE UN SISTEMA ESTRUCTURAL CON EL USO DE CICLOS DE HISTÉRESIS. 2018. DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@eliaschess333/estudio-del-amortiguamiento-mas-alla-del-comportamiento-elastico-de-un-sistema-estructural-con-el-uso-de-ciclos-de-histeresis