La hipocicloide.

En mis dos post anteriores les hablé sobre la Cicloide y la Epicicloide, ahora para culminar con estas curvas les traigo la Hipocicloide otro tipo de ruleta cicloidal que de igual forma es la curva que describe un punto sobre una circunferencia generatriz, la cual como en el caso de la epicicloide rueda por una circunferencia directriz, siendo la diferencia que en este caso lo hace en la parte interna de esta, su nombre -Hipo- significa debajo y -ciclos- "círculo" es decir, debajo del círculo. Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto sobre una circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia sin deslizamiento.

La hipocicloide genera figuras muy interesantes la mayoría parecidas a estrellas, al igual que en la epicicloide estás figuras vienen dadas por el cociente "k" del radio de la circunferencia directriz y la generatriz, en el caso cuando k = 3 obtenemos un deltoide y en el caso k = 4 un astroide, las cuales son hipocicloides con tres y cuatro vértices respectivamente.

- La longitud de la curva es dieciséis veces el radio de la circunferencia generatriz. L = 16r

- El área interna de la curva es dos veces el área de la circunferencia generatriz. A = 2πr²

El lugar geométrico formado por los puntos de corte entre cada tangente a una curva y la perpendicular a la tangente trazada respecto a un punto se conoce como podaria.

El 'astroide' del griego significa "estrella" esta curva tiene 4 vértices y comúnmente se genera cuando la circunferencia directriz es 4 veces el radio de la generatriz, sin embargo Daniel Bernoulli en 1725 consiguió otra forma de construir el astroide mediante hipocicloides y lo llamo doble generación del astroide y ocurre cuando k = 4/3.

- El astroide es una superelipse.

- La envolvente de una elipse resulta ser un astroide.

- La evoluta de un astroide es otro astroide.

- La podaria de un astroide es una "rosa de 4 pétalos".

De igual forma que con las curvas anteriores tenemos hipocicloides acortadas cuando el punto que describe la curva está dentro de la circunferencia generatriz y alargadas cuando el punto está fuera de la circunferencia generatriz.

Si trazamos una hipocicloide acortada cuando el radio de la circunferencia directriz es dos veces el radio de la circunferencia generatriz r1 = 2.r2 y situamos el punto que describe la curva dentro de la circunferencia generatriz a una distancia de la mitad del radio de esta d = r2/2 obtenemos una elipse como resultado de una hipocicloide acortada.

De igual forma tomando como radio de la circunferencia directriz dos veces el radio de la circunferencia generatriz r1 = 2.r2 y situando el punto que describe la curva fuera de la circunferencia generatriz a una distancia de siete veces su radio d = 7.r2 obtenemos una elipse como resultado de una hipocicloide alargada.

Rosa polar es el nombre que recibe una familia de curvas por la semejanza con una flor de pétalos, su ecuación viene dada por r(θ) = cos(kθ). La rosa polar se puede obtener como un caso particular de una hipocicloide alargada cuando k.