Continuando con la temática geometría analítica plana, en donde, continuamos fortaleciendo el importante aspecto analítica de las matemáticas, en esta oportunidad analizaremos el extraordinario nexo entre la espectacular ciencia física y la matemática analítica, es decir, geometría analítica, por lo tanto, conoceremos algunos de muchos elementos fundamentales que comparten estas ramas de la ciencia.
Iniciaremos conociendo los aspectos o elementos ofrecidos por la geometría analítica, en donde, recordaremos su tarea fundamental dentro de las matemáticas, además repasaremos el lugar geométrico el cual denominamos circunferencia, siguiendo con el estudio de las coordenadas polares en el plano bidimensional y los aspectos más resaltantes para aplicarlos en la ciencia física, particularmente en el análisis del importantísimo movimiento circular.
Al referirnos a la cinemática estamos hablando de la ciencia del movimiento independientemente de la clase de fuerza que lo origine, y que gracias a la maravillosa combinación del estudio experimental y el razonamiento lógico de las matemáticas la cinemática consolidó sus raíces científicas.
Si hablamos de la espectacular ciencia física, nos estamos refiriendo a la ciencia central de la cinemática, y de ella (Física) podemos expresar que al inicio de su historia muchos pensaron que su ambición por conocer los fenómenos de nuestro entorno era desorbitada o exagerada, sin embargo, el espacio-tiempo de nuestra historia ha demostrado todo lo contrario, ya que gracias a los extraordinarios progresos de esta ciencia mediante la estructuración y explicación de innumerables e históricas leyes relacionadas a distintos y maravillosos fenómenos de nuestro macro y micro universo le permitió refutar tal observaciones iniciales.
El fenómeno del movimiento en especial el circular afianza sus estudios en la descripción de su trayectoria y la misma está representada por el lugar geométrico de una circunferencia, es entonces que debemos referirnos a esa fabulosa e increíble rama de las matemáticas como lo es la geometría analítica.
Como hemos comprobado esta parte de las matemáticas tiene como principio fundamental asociar cada uno de los puntos que se encuentran en un plano con un único par ordenado de números y que recíprocamente a cada par ordenado de estos números le corresponde únicamente un punto en dicho plano, este desde el punto de vista de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, ya que mediante un sistema de coordenadas polares no sucede de esta forma, pero más adelante estaremos refiriéndonos a estos puntos, en definitiva la geometría analítica de manera general nos permite a través de su unión con el extraordinario lenguaje abstracto del álgebra poder lograr un análisis de manera generalizada de cualquier planteamiento a estudiar, con una clara inyección interpretativa de movilidad de los puntos en las distintas dimensiones, generando entre tantos beneficios, los útiles segmentos con sentido o dirección, es decir, con orientación, tan provechosos en el campo de la física y así continuamos con el vínculo de estas magnificas ciencias.
Si hablamos de las matemáticas, estamos relacionándonos con la ciencia central de la geometría analítica, y de ella (Matemática) podemos afirmar claramente a esta altura de nuestra tan nutrida historia científica, que las diversas leyes que conducen o rigen el acontecer de nuestro entorno natural están escritas en el claro y conciso lenguaje de las matemáticas.
Al referirnos a ambas (Física-Matemática) podemos afirmar que la relación entre la física y las matemáticas es tan profunda, por lo que las magníficas matemáticas ofrecen al campo de la física tanto el lenguaje como los modelos correctos o lógicos sobre los cuales es posible estructurar todas aquellas teorías del mundo de la física, esto es lo que nos ha llevado a manifestar que gracias a estas características matemáticas dichas teorías han logrado desarrollar la capacidad de poder predecir fenómenos antes de ser observados, uno de tantos ejemplos lo representan las ondas electromagnéticas, debido a que su existencia la predijo el físico inglés James Maxwell en 1865 y que años más tarde la demostró experimentalmente Heinrich Hertz en 1887.
La circunferencia
Muchos son los lugares geométricos ofrecidos por el estudio de la geometría analítica plana y los cuales sirven de soporte para otras ciencias, en esta oportunidad nos estaremos relacionando a ese lugar geométrico donde un determinado punto tiene movimiento en el plano de tal manera que se mantiene a una distancia siempre constante de un punto fijo de dicho plano, a este punto fijo lo hemos denominado como centro (C), en donde a la distancia constante la llamamos radio (r), por lo tanto, estos elementos pertenecientes a esta importante figura geométrica nos permitirán ir uniendo a las dos ciencias antes mencionadas, dicha figura geométrica cuyo centro tiene como coordenadas (h , K) y su radio es constante (r), tiene la siguiente expresión como ecuación:
Una esencial figura para el estudio del movimiento circular llevada a cabo por esa rama de la física que ya sabemos que lleva por nombre cinemática, a continuación les dejo el enlace de una de mis publicaciones para que puedan conocer más sobre esta maravillosa figura geométrica como lo es la circunferencia.
Las coordenadas polares
Hasta este momento hemos realizado los estudios de los lugares geométricos de distintas figuras por métodos analíticos utilizando un solo sistema coordenado, pero ha llegado el momento de emplear y conocer otro sistema al cual lo llamaremos sistema de coordenadas polares, a pesar de saber que el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son muy útiles, observaremos que a través de las coordenadas polares es posible realizar estudios a ciertas curvas y tipos de lugares geométricos con algunas ventajas sobre el sistema de coordenadas cartesianas.
En el sistema de coordenadas polares podemos localizar un punto al especificar su posición relativa en relación a una recta fija, así como a un punto fijo de dicha recta, en donde, a la recta fija la denominaremos eje polar y al mencionado punto fijo polo, observemos la siguiente figura 1.
Figura 1. Ubicación del eje polar y el polo de un sistema de coordenadas polares.
Siendo P un punto cualquiera de dicho plano, su posición con relación tanto con el polo como con el eje polar está dada cuando conocemos r y θ, por lo que a estas dos cantidades las denominamos coordenadas polares del punto a estudiar, en este caso P, por lo tanto, r es el radio vector y θ el ángulo polar o vectorial de dicho punto. Estas dos coordenadas la escribimos entra paréntesis, colocando primero la cantidad del radio vector (r), es decir, (r , θ).
Es importante resaltar que el ángulo polar o vectorial lo podemos medir mediante la utilización de la trigonometría, relacionando el eje polar como nuestro lado inicial y como lado final del ángulo el radio vector (r), considerándolo positivo o negativo dependiendo del sentido seguido, es decir, bien sea el sentido contrario de las manecillas del reloj (positivo) o en el mismo sentido horario (negativo).
Claramente un par de coordenadas polares (r , θ) representa únicamente un punto en dicho plano coordenado, sin embargo, el recíproco no es evidente o verdadero, debido a que un determinado punto P cuyas coordenadas sean (r , θ) estará también representado por los pares de coordenadas (r , θ + 2πn), por lo que π está dado en radianes y n será cualquier número entero. Pero también un punto (P), puede determinarse por los pares coordenados constituidos por (-r , θ + πn), en donde n será un número entero impar cualesquiera.
La relación antes planteada es diferente en el sistema cartesiano rectangular donde se instaura una relación biunívoca entre cada uno de los puntos del plano con un par de números reales, esto no se presenta en el sistema de coordenadas polares, debido a que un punto puede llegar a estar representado por un número infinito de pares de coordenadas polares, sin embargo para nuestro propósito tomar un par de coordenadas polares será suficiente para representar cualquier punto en dicho plano.
Es importante conocer la relación entre las coordenadas rectangulares y polares, esto nos permitirá poder pasar de unas coordenadas a las otras dependiendo del análisis que queramos efectuar y cual sistema coordenado nos convenga más utilizar en un determinado estudio, por lo tanto, debemos tener siempre presente, sí tanto el polo como el eje polar de un sistema de coordenadas polares tienen coincidencia con el origen y también con la parte positiva del eje X perteneciente a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, podemos pasar de un sistema a otro mediante las siguientes ecuaciones de transformación, para lo cual utilizaremos la siguiente figura 2 con la clara finalidad de visualizar de mejor forma la determinación de tales ecuaciones o fórmulas.
Figura 2. Coincidencia del polo y eje polar con el origen y parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.
Observamos que tenemos un punto P cualesquiera del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x , y) y polares (r , θ), por lo tanto, podemos deducir rápidamente con la ayuda de la trigonometría las siguientes ecuaciones, iniciaremos con aquellas que nos permitirán pasar de coordenadas cartesianas rectangulares a polares:
Ahora las relaciones para pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas rectangulares:
Pero para nuestro propósito vamos a relacionar estas coordenadas polares con una circunferencia por ser el lugar geométrico descrito por un móvil, cuerpo u objeto durante un movimiento circular, por lo que observemos la siguiente figura 3.
Figura 3. Relación entre una circunferencia y las coordenadas polares.
Movimiento circular
En este tan exigente universo nadie podría negar que el haber podido interpretar y conocer el grandioso fenómeno del movimiento nos ha permitido ampliar nuestra capacidad de desarrollo intelectual y en consecuencia estabilidad social, razones fundamentales para subsistencia en este planeta, por lo que en nuestra modernidad podríamos afirmar que la inmensa mayoría de los objetos que se desplazan a nuestro alrededor llevan coligado algún tipo de movimiento circular.
Podemos decir entonces, que un determinado móvil u objeto se desplaza siguiendo un movimiento circular cuando su respectiva trayectoria es el lugar geométrico de una circunferencia, en donde ya describimos sus elementos y los cuales nos permitirán dentro de un sistema de coordenadas polares (ya descrito) realizar el estudio de este tipo de fenómeno.
Un claro ejemplo lo representa cualquier automóvil que tengamos en nuestro entorno, el cual sería difícil pensar que el mismo se pudiera desplazar sin la utilización de sus ruedas o más aun sin todos aquellos mecanismos los cuales permiten hacer girar su motor, por lo tanto, lo impresionante del movimiento circular es que no solo está presente en aquellas maquinarias confeccionadas por el hombre sino que también lo podemos encontrar en nuestro medio ambiente natural.
Al poderlo encontrar en nuestra naturaleza es lo que claramente ha permitido inspirar al campo de la física, haciendo intervenir a las matemáticas y de esta manera ofrecerle a dicho campo los adecuados modelos matemáticos que rigen tales movimientos circulares.
Para tal determinaciones nos apoyaremos como ya hemos expresado en el sistema de coordenadas polares y en la figura que describe el lugar geométrico de una circunferencia, denominaremos radio vector aquel que represente las posición de cada punto de dicha figura geométrica, apoyándonos en el ángulo θ, el cual está formado entre dicho radio vector y nuestro eje polar, como se muestra en la siguiente figura 4.
Figura 4. Movimiento circular describiendo el lugar geométrico de una circunferencia y sus componentes polares.
Es importante resaltar que para poder describir un determinado movimiento circular con las magnitudes angulares antes descritas, es necesario comprender todo lo referente a la unidad de medida angular denominada radián, por lo que brevemente recordamos que para poder calcular un ángulo en radianes procedemos a medir la longitud del arco recorrido (s) representado por el ángulo θ, de igual forma medimos el radio de la circunferencia, como podemos observar en la siguiente figura 5.
Figura 5. Análisis para el cálculo de un ángulo en radianes.
Después sustituimos en la siguiente ecuación:
De esta manera obtenemos el valor de dicho ángulo (θ) medido en radianes (rad).
Con todos los elementos antes descritos, procedemos a la estructuración de algunos modelos matemáticos para el estudio de la descripción del movimiento circular.
Velocidad angular (ω)
Como ya hemos expresado, al moverse un determinado objeto o móvil por el lugar geométrico que describe una circunferencia el mismo desarrollará una velocidad debido a que transita o recorre un espacio, y no solo esto además recorre un ángulo, entonces, para poder conocer tal rapidez mediante un movimiento circular, se ha establecido la velocidad angular (ω) y la misma representa el número de vueltas o giros que dicho cuerpo, objeto o móvil realiza por unidad de tiempo.
Esto nos lleva a manifestar que si un determinado cuerpo, objeto o móvil realiza muchas vueltas por segundo (según sea la unidad de tiempo utilizada) quiere decir que el mismo tiene una gran velocidad angular.
Resumiendo todo esto y configurar nuestra primera ecuación podemos expresar, que en el movimiento circular dicha velocidad angular está representada por el ángulo que ha recorrido el móvil dividido por la unidad de tiempo implementada para tal estudio, y con esto tenemos:
Pero si contamos con la información del tiempo empleado por un móvil en dar una vuelta o periodo completo (T), obtenemos las siguientes ecuaciones:
Recordando que el período (T) representa en un movimiento circular, el tiempo que tarda un determinado cuerpo, objeto o móvil en ejecutar una vuelta completa, es decir, un ciclo completo, y en cuanto a la frecuencia (F) la misma representa el número de vueltas o ciclos completos mediante dicha unidad de tiempo.
Velocidad tangencial (v)
Una vez definidas las ecuaciones para la velocidad angular (ω), procedemos a determinar los modelos matemáticos para otra de las velocidades que intervienen en la descripción del movimiento circular, es decir, la velocidad lineal de un cuerpo, objeto o móvil el cual se desplaza en una trayectoria de dicho movimiento, para este análisis podríamos considerar el giro de un determinado disco en cuyo borde se encuentra un punto el cual da vueltas con movimiento circular uniforme, dicho punto siempre tendrá una velocidad lineal siendo tangencial a la trayectoria, evidentemente a este tipo de velocidad la denominamos velocidad tangencial, y la cual representa el cociente entre la longitud del recorrido sobre la circunferencia trayectoria y el tiempo invertido durante dicho recorrido, por lo tanto, su ecuación la expresamos de la siguiente forma:
Aceleración en los movimientos circulares
En estos tipos de movimientos podemos observar que la dirección varía en cada instante, por lo tanto, la velocidad del vector tangencial (v) podrá cambiar (aumentar o disminuir), al variar bien sea sólo su dirección o módulo, o ambos a la vez.
Movimiento circular uniforme
En este tipo de movimiento la velocidad angular (ω) es constante, pero a pesar de esto también este tipo de movimiento es acelerado. Recordando al vector velocidad (v) el cual es tangencial a la trayectoria del movimiento, este va cambiando de dirección durante el recorrido del cuerpo, objeto o móvil, por lo que dicha variación de (v) la cual toca únicamente a su dirección da origen a un tipo de fenómeno al cual denominamos aceleración centrípeta.
Aceleración centrípeta
Como expresamos anteriormente este tipo de aceleración ocurre mediante la variación de la dirección del vector lineal (v) o tangencial a la trayectoria de dicho movimiento circular, por lo tanto, esta aceleración tendrá la dirección del radio y la cual apuntará siempre hacia el centro de la circunferencia trayectoria.
Como expresamos unas párrafos atrás, al existir un cambio en algunos de los componentes de dicho vector velocidad (v), esto tiene que originar o dar lugar a un tipo de aceleración, que para el movimiento circular se denomina centrípeta, como podemos observar en la siguiente figura.
Para calcular este tipo de aceleración podemos utilizar las siguientes ecuaciones:
Es importante tener en cuenta que para el caso, en donde un determinado móvil se desplaza describiendo un movimiento circular y cuya velocidad es variable, podemos decir que su aceleración se divide en dos componentes, por lo tanto, la que ya conocimos la aceleración centrípeta la cual cambia la dirección del vector velocidad, y otra aceleración denominada angular la cual cambia la magnitud de dicho vector velocidad, es decir, que un movimiento circular uniforme tiene solo aceleración centrípeta y en cuanto al movimiento circular variado tendrá tanto aceleración centrípeta y también aceleraciones angular como tangencial.
Aceleración angular (α)
Este tipo de aceleración representa un cambio en la velocidad angular en relación al tiempo utilizado, por lo tanto, la podemos representar con la siguiente ecuación:
Aceleración tangencial
Este tipo de aceleración constituye una variación en la velocidad lineal, por lo que representa el producto entre la aceleración angular por el radio, y la misma la podemos expresar de la siguiente forma:
De esta manera hemos podido determinar algunos importantes modelos matemáticos de gran importancia para la comprensión del movimiento circular.
1.- La geometría analítica en representación de las maravillosas matemáticas, nos ha permitido soñar con el entendimiento de manera más sencilla y práctica de nuestro entorno, debido a que el universo esta colmado de estas figuras que la geometría ha hecho suyas bajo su majestuosa interpretación analítica, y la circunferencia sin lugar a dudas a representado una de estas infinitas formas, cuyo lugar geométrico nos permite y nos permitirá la comprensión de majestuosos fenómenos como el movimiento circular.
2.- Ningún ser humano pudiera negar que la influencia de la geometría analítica en todo el campo de la ciencia es excepcional, desde sus inicios ha representado ese maravilloso lenguaje interpretativo para las otras ramas científica, y como no hacerlo si la misma cuenta con la extraordinaria cooperación del álgebra, cuyo lenguaje mezclado con la geometría euclidiana nos permiten constituir maravillosos modelos lógicos matemáticos en los cuales es posible calcar las innumerables teorías científicas como lo pudimos observar en el movimiento circular estudiado por la cinemática.
3.- Igualmente nadie podría negar que haber podido lograr comprender el fenómeno del movimiento en todos sus sentidos nos ha resultado de vital ayuda en nuestra evolución tanto intelectual como social, esto gracias a la cinemática, la cual unida a la estática permitieron fortalecer y estructural a la dinámica, y esta última representa según mi concepto la piedra angular de la ciencia física, y con ello la misma ha logrado la excepcional transformación de la ciencia hasta nuestros días.
4.- En el desarrollo de este artículo pudimos comprender y analizar la determinación de algunos importantes modelos o ecuaciones matemáticas, en los cuales resaltan, el de la velocidad angular, ya que al moverse un cierto cuerpo, objeto o móvil por el lugar geométrico que describe una circunferencia este va a desarrollar una velocidad ya que transita un espacio, y además describe y recorre un ángulo.
Observamos claramente que en estos tipos de movimientos la dirección varía en cada momento, por lo que la velocidad del vector tangencial (v) podría cambiar, es decir, al variar bien sea su dirección o módulo, o ambos a la vez, entre otras importantes características necesaria para el estudio de los movimientos circulares como aceleración centrípeta, angular y tangencial, todo esto con la ayuda de la excelente interpretación de las herramientas ofrecidas por nuestra geometría analítica, es decir, las matemáticas.
5.- Para concluir podemos resaltar el inmenso valor que representan cada una de las ramas de la ciencia en pro de la humanidad, eso lo ha demostrado nuestra historia, en esta publicación la finalidad era poder hacer coincidir a dos de las más grandes ciencias de la humanidad, Matemática y Física, sin ellas nada sería posible y gracias a ellas somos una especie ampliamente intelectual con gigantescos desarrollos sociales.
Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras dos grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io , por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.
Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, GeoGebra y el gif utilizado al inicio de la publicación, con PhotoScape.
[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.
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[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.
[4] Bragado Ignacio Martin. Física General. Imartin@ele.uva.es .12 de febrero de 2003.
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[6] Castaño Arturo. UNNE-Facultad de ingeniería. Física III. Ondas electromagnéticas, año 2008.
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