Algunas aplicaciones de la definición de Angulo Sólido (Parte 1)

De acuerdo con lo anterior:

Estimados Steemians-Lectores, el concepto de potencial es muy útil en la Física. Particularmente, en electrostática este concepto tiene dos propiedades bastante diferentes:

1. La diferencia entre los potenciales de dos puntos es igual al trabajo necesario para mover una unidad de carga entre ellos.
2. Simplifica los cálculos relacionados con los campos de tal manera que es posible plantearse sólo una suma de potenciales para luego derivarlo, en lugar de tener que hacer una suma separada para cada componente del campo.

En Magnetostática existe, bajo ciertas circunstancias, una función escalar que presenta la segunda propiedad antes mencionada: su gradiente proporciona el campo . Sin embargo, no posee una propiedad análoga a la primera debido a que dicha función escalar no es univaluada, siendo esto de poca importancia en la práctica debido a que no existen cargas magnéticas libres y raramente es necesario calcular el trabajo requerido para mover una desde un punto a otro.

La función escalar antes mencionada recibe el nombre Potencial Escalar Magnético . Para el caso de un circuito de corriente, el potencial es proporcional al ángulo sólido subtendido por el mismo con respecto al punto donde se desea calcular . Antes de mostrar esto es necesario conocer la Ley de Biot-Savart ( vean las referencias 5, 10 y 13),

Ley de Biot-Savart: en el caso de una corriente que circula por un circuito filiforme cerrado (observen la figura 6), un elemento infinitesimal de longitud del circuito recorrido por una corriente , crea una contribución elemental de campo magnético en un punto situado en la posición que apunta el vector a una distancia respecto de , quien apunta en la dirección de la corriente ,

donde (en el SI) es la permeabilidad magnética del vacío.

Esta ley, que data de 1820 y es llamada así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Felix Savart. Puesto que la corriente y, en consecuencia, el campo no son funciones del tiempo, este último es llamado Campo Magnetostático. Es una de las leyes fundamentales de la Magnetostática, tanto como la Ley de Coulomb lo es en Electrostática.

Ahora bien mis estimados Steemians-Lectores, consideremos nuevamente un circuito de corriente de cargas como el que les muestro en la figura 6. Para definir la normal positiva a la superficie que encierra el circuito se hace que la dirección de la corriente lleve la misma que indica un tornillo de rosca derecha en su avance. Si se desplaza una distancia infinitesimal , a partir de la forma integrada de (1) es posible escribir (vean la referencia 3),

Mover una cantidad manteniendo fija la posición del circuito, es equivalente a mover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una cantidad manteniendo fijo, de aquí que se genere una superficie semejante a una cinta como la indicada por la zona rayada en la figura 7(a). El valor del miembro derecho de (2) permanece constante si primero se evalúa la integral y después se efectúa el producto escalar con o al efectuar primeramente el producto escalar del integrando con y después evaluar la integral alrededor de todo el circuito, por lo que es posible escribir (2) ahora como,

Mis Steemians-Lectores, después de unos cálculos sencillos se llega a que,

La expresión es un vector que representa la pequeña superficie en forma de cinta que les muestro en la zona sombreada de la figura 7(b),

en la que representa la proyección de sobre un plano perpendicular a . Entonces, es posible escribir ahora el integrando de (5) como,

donde he usado la definición de ángulo sólido dada por (5) en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO. Aquí representa el ángulo sólido subtendido por la superficie con respecto al punto . Por lo tanto, la integral sobre el circuito cerrado proporciona el ángulo sólido completo subtendido por la cinta.

La interpretación de (7) es clara: cuando es desplazado , el ángulo sólido subtendido por todo el circuito con respecto a cambia . Equivalentemente, si se mantiene fijo y se mueve cada punto del circuito (esto es desplazar el circuito entero) entonces el cambio en el ángulo sólido es igualmente . El ángulo sólido se los muestro en la figura 8, donde representa la disminución del ángulo sólido completo subtendido con respecto a , lo cual ocurre cuando se mueve una distancia con respecto al circuito o cuando el circuito se mueve con respecto a . Por lo tanto es posible escribir,

de donde, después de algunas consideraciones y sencillos cálculos, se llega finalmente a,

que representa la forma de ángulo sólido de la Ley de Biot-Savart o Ley de Ampere. Esta expresión también puede ser escrita como,

con,

que es el Potencial Escalar Magnético. La dirección de es la de , de modo que apunta hacia afuera del circuito a lo largo de su normal positiva. Si dos circuitos de corriente idénticos están muy cercanos el uno del otro, pero transportan corrientes en direcciones opuestas, es claro que los campos que producen se cancelarán mutuamente.

Amigos Steemians, la definición de ángulo sólido es fundamental en el estudio de la radiación pues es útil para definir algunas magnitudes que se emplean para el estudio de la misma.

INTENSIDAD RADIACION

Antes de definir la Intensidad de Radiación es necesario definir: Potencia de radiación y la densidad de flujo radiante.

(a) Flujo de Radiación o Potencia de Radiación :

Es la cantidad de energía radiante emitida en el espacio por una fuente luminosa por unidad de tiempo,

Su unidad de medida es el .

(b) Densidad de Flujo Luminoso :

Es la potencia por unidad de superficie,

y es la parte de la potencia de radiación total emitida por una fuente de luz que es capaz de afectar el sentido de la vista. Su unidad de medida es el .

La Intensidad de Radiación (brillo), observen la figura 9, es una magnitud que define la cantidad de energía por unidad de tiempo (potencia) que llega desde una dirección dada, desde una fuente extendida (no puntual). Esta magnitud se determina mediante,

donde: es la superficie colectora de energía, perpendicular a la dirección de medición (metros cuadrados); es el ángulo sólido (estereorradián); es el tiempo y es la energía que entra en el cono proveniente de la dirección seleccionada (joules). En esta expresión se observa claramente la importancia que tiene el concepto de ángulo sólido en la definición de la intensidad de radiación, dotándola de direccionalidad.

La unidad de intensidad de radiación es .

La intensidad de radiación, al usar (12), también puede ser obtenida mediante,

definiéndola como la potencia óptica emitida por unidad de ángulo sólido , por unidad de superficie de la superficie emisora . Y al usar (13) mediante,

Para tener una idea gráfica de cómo se puede medir la intensidad de radiación proveniente de varias direcciones, se puede pensar que cuando se observa una fotografía, las áreas más brillantes de la figura corresponden a las direcciones de mayor Intensidad de radiación y viceversa para las oscuras. Con esto, queda claro que la intensidad de radiación es lo que normalmente se denomina "brillo superficial". La Intensidad de radiación sólo tiene sentido para superficies radiantes. Cuando se trata de fuentes puntuales la definición carece de sentido pues el angulo sólido subtendido por la fuente tiende a cero (en este ángulo está en el denominador).

La potencia radiante proviene desde distintas fuentes que presentan sus propias intensidades de radiación, como les muestro en la figura 10. Si las fuentes poseen tamaños aparentes (ángulos sólidos) pequeños, se puede evaluar la densidad de flujo como,

Cada fuente individual contribuye con su densidad de flujo parcial. El factor tiene en cuenta la inclinación de la fuente radiante respecto a la normal a la superficie colectora.

Si una fuente de gran intensidad de radiación ( grande) se aleja mucho del observador como para hacer que su ángulo sólido , pero el producto no se hace cero, se está ante lo que llama "Fuente Puntual". Un ejemplo lo puede proveer una estrella, ya que su tamaño no es apreciable , ni con telescopios y sin embargo su brillo superficial (intensidad de radiación) es suficientemente grande para que el producto sea el adecuado para que la estrella pueda ser vista.

INTENSIDAD DE RADIACION MEDIDA A UNA DISTANCIA d DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO NEGRO:

Estimados Steemians-Lectores, en un experimento se coloca una superficie emisora de un cuerpo negro a una distancia de una superficie receptora paralelas entre sí, a fin de medir la intensidad de radiación, como les muestro en la figura 11(a). Se utilizará el subíndice para indicar la superficie receptora y el para indicar la emisora.

La potencia que llega a la superficie receptora desde la superficie emisora , según (15), es obtenida mediante,

pero de la definición de ángulo sólido (1) dada en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO,

que es el ángulo sólido subtendido por visto desde , como les muestro en la figura 11(a). Entonces, al sustituir (19) en (18) resulta,

pero, al aplicar nuevamente la definición de ángulo sólido (1) dada en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO se puede escribir que,

en correspondencia con la figura 11(b). Entonces, al sustituir esta expresión en (20) resulta,

Ahora, al sustituir (22) en (13) da como resultado,

de aquí que, finalmente, la intensidad de radiación percibida por (el brillo) es,

lo cual significa que, el brillo percibido desde un emisor de superficie extendida es independiente a la distancia a él.

Aquí les presento, mis Steemians-Lectores, 17 textos (libros de texto y artículos científicos) que consulté para la elaboración del presente post.

1. Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018.
2. Cosenza, M. MECANICA CLASICA. Universidad de los Andes (ULA). Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Mérida - Venezuela (Publicación Electrónica), 2015. Notas de clases, versión A-2015. pp. 133-141 http://www.ciens.ula.ve/cff/caoticos/PDFs/guiaMecanicaClasica.pdf.
3. Singh, S. ELECTROMAGNETICS. Discovery Publishing House PVT. LTD., 1st edition, 2009. pp. 169 - 174.
4. Portillo M., M. ELECTROCARDIOGRAFIA: TECNICA DE INTERPRETACION BASICA. VI Foro de Pediatria de Atencion Primaria de Extremadura, pp 57 - 73, Abril 2009.
5. Hayt, W. H. Jr. & Buck, J. A. TEORIA ELECTROMAGNETICA. McGRAW-HILL Interamericana, México, 7ma edition, 2006. pp. 210 - 218.
6. Uribe A., W.; Duque R., M. & Medina D., E. ELECTROCARDIOGRAFIA Y ARRITMIAS. P.L.A. Export editores Ltda., Bogotá D.C. Colombia, 2005.
7. Cárdenas, M. INFARTO POSTERIOR (DORSAL) E INFARTO DEL VENTRICULO DERECHO. Archivos de Cardiología de México, 74(1):38 – 43, Enero-Marzo 2004.
8. Greiner,W. CLASSICAL MECHANICS. SYSTEMS OF PARTICLES AND HAMILTONIAN DYNAMICS. Springer-Verlag New York, Inc., 2003. pp. 51 - 55.
9. Knoll, G. F. RADIATION DETECTION AND MEASUREMENT. John Wiley & Sons, Inc., 3rd edition, 2000. pp. 1 - 27, 103 - 127.
10. Paul, C. R.; Whites, K.W. & Nasar, S. A. INTRODUCTION TO ELECTROMAGNETIC FIELDS. WCB/McGraw-Hill, 3rd edition, 1998. pp. 110 - 117 200 - 201.
11. Okin, P. M. & Kligfield, P. SOLID ANGLE THEORY AND HEART RATE ADJUSTMENT OF ST-SEGMENT DEPRESSION FOR THE IDENTIFICATION AND QUANTIFICATION OF CORONARY ARTERY DISEASE. American Heart Journal, 127(3):658 – 667, March 1994.
12. Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992.
13. Griffiths, D. J. INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS. Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1981. pp. 215 - 220.
14. Holland, R. P. & Arnsdorf, M. F. SOLID ANGLE THEORY AND THE ELECTROCARDIOGRAM: PHYSIOLOGIC AND QUANTITATIVE INTERPRETATIONS. Progress in Cardiovascular Diseases, 19(6):431 – 457, June 1977.
15. Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135.
16. Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972.
17. Crouthamel, C. E. APPLIED GAMMA-RAY SPECTROMETRY. Pergamon Press, 2nd edition, 1970.

Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.