Algunas aplicaciones de la definición de Angulo Sólido (Parte 2)

Cordiales saludos para toda la comunidad de Steemit y muy particulares saludos para todos mis Steemians-Lectores. Este post representa la segunda parte de dos posts dedicados a las aplicaciones de la definición de Angulo Sólido y la culminación de una serie de posts que he publicado acerca de este tema. Toda la serie, en conjunto, constituye un material bastante completo que se podría utilizar como complemento en aquellos cursos donde la definición de Angulo Sólido sea de importancia.

Para tener una excelente abordaje del material presentado en este post, les recomiendo leer previamente mis posts:

1. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS.
2. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
3. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
4. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
5. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO.
6. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO.
7. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 7 - PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO.
8. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA DE LAS CARAS DE UN CUBO CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN EL CENTRO DEL MISMO
9. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VERTICES.
10. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN SU EJE DE SIMETRIA.
11. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UN DISCO CON RESPECTO A UN PUNTO QUE SE ENCUENTRA DENTRO Y FUERA DE SU EJE DE SIMETRIA.
12. ALGUNAS APLICACIONES DE LA DEFINICION DE ANGULO SOLIDO (PARTE 1).

Mis Steemians-Lectores, continuando con lo ya comenzado en la primera parte, les presento 3 aplicaciones más de la definición de Angulo Sólido.

Mis amigos Steemians-Lectores, una antena es un dispositivo (conductor metálico) diseñado con el objetivo de emitir o recibir ondas electromagnéticas hacia el espacio libre. Una antena transmisora transforma energía eléctrica en ondas electromagnéticas, y una receptora realiza la función inversa.

Existe una gran diversidad de tipos de antenas. En unos casos deben expandir en lo posible la potencia radiada, es decir, no deben ser directivas (ejemplo: una emisora de radio comercial o una estación base de teléfonos móviles), otras veces deben serlo para canalizar la potencia en una dirección y no interferir a otros servicios (antenas entre estaciones de radioenlaces).

Las características de las antenas dependen de la relación entre sus dimensiones y la longitud de onda de la señal de radiofrecuencia transmitida o recibida. Si las dimensiones de la antena son mucho más pequeñas que la longitud de onda las antenas se denominan elementales, si tienen dimensiones del orden de media longitud de onda se llaman resonantes, y si su tamaño es mucho mayor que la longitud de onda son directivas.

AREA EFECTIVA DE UNA ANTENA:

Para determinar la superficie efectiva de una antena, estimados Steemians, es necesario hallar primeramente la superficie efectiva de un radiador isótropo. Un radiador isótropo es un dispositivo que puede irradiar al espacio uniformemente para todas las direcciones toda la energía que entra en él desde un generador. El sol puede ser considerado un radiador isótropo.

Por otro lado, una resistencia cualquiera a una temperatura absoluta mayor a , es un generador de ruido blanco que puede transmitir esa potencia a un circuito al que esté conectada. En el caso que les muestro en la figura 12, la resistencia que hace de carga para la que genera el ruido está a (no produce ruido). Si el valor de la resistencia de carga es el mismo que el de la emisora de ruido (existe adaptación de impedancias), la transferencia de potencia será máxima, siendo su valor dado por,

independiente del valor de la resistencia. Aquí es la potencia de ruido, es la constante de Boltzmann y la temperatura absoluta de . El descubrimiento de este fenómeno fue realizado por Nyquist y estableció que el espectro de esta potencia es plano (independiente de la frecuencia), por lo menos dentro del rango de frecuencias de interés. Combinando las propiedades de emisión del radiador isótropo con las generadoras de potencia de una resistencia a temperatura , es posible conectarlos y hacer que se establezca un equilibrio termodinámico entre la emisión de la potencia generada por la resistencia desde el radiador al espacio y la recibida por el radiador desde el espacio, que tiene una temperatura de brillo (observen la figura 12),

observándose la aplicación de la definición de ángulo sólido. Aquí es la superficie efectiva del radiador isótropo, es la potencia de ruido irradiada por el radiador isótropo, es la potencia capturada por el radiador isótropo e es la intensidad de radiación (brillo) del espacio. El ángulo sólido es el de todo el espacio que, como se sabe, es . El brillo del espacio viene dado por (Rayleigh-Jeans),

donde es la longitud de onda. Igualando las potencias y de (25) por estar en equilibrio termodinámico resulta,

que es la superficie efectiva buscada para un radiador isótropo y será tomada como referencia para encontrar la superficie efectiva de una antena. La superficie efectiva de una antena cualquiera resulta ser el producto de la superficie efectiva de un radiador isótropo por la ganancia de la antena,

o al usar (27),

TEMPERATURA DE UNA ANTENA:

Con frecuencia, mis estimados Steemians-Lectores, se determina la potencia en función de la temperatura absoluta, lo cual es posible a través de la ecuación de Nyquist (24) vista en la sección anterior. Supóngase que se tiene una antena de la que se conoce su diagrama de radiación. En la figura 13, con el diagrama real (a) se puede estimar cuál es la ganancia media de los lóbulos laterales. Si la antena actúa como emisora el valor de dará una idea de la potencia que se desperdiciará en direcciones no deseadas. La ganancia máxima corresponde al lóbulo principal de ángulo sólido . En el diagrama (b) se muestra una simplificación del diagrama de radiación, que permite estimar su performance.

Steemians, se debe tener en cuenta que existe una relación entre la ganancia y el ancho del haz (ángulo sólido del lóbulo principal),

debido a que la integración se realiza sobre toda la esfera. Llevada al diagrama simplificado significa que,

donde,

El el valor de para un reflector parabólico es aproximadamente de modo que para valores de será 200. La expresión (31) es muy valiosa para conocer rápidamente la de una antena en función del ancho del haz (o viceversa).

Cuando el conmutador está conectando la antena (observen la figura 14), en el amplificador entra una potencia de señal . Con el conmutador abajo, entra la potencia de ruido desde la resistencia. Si se varía la temperatura de la resistencia para igualar la señal que viene de la antena se tendrá que,

y la potencia de señal desde el cielo,

El primer término incluye las fuentes extendidas caracterizadas por su intensidad de radiación , y el segundo toma en cuenta las fuentes puntuales con su densidad de flujo que las caracteriza. Entonces,

donde es la temperatura de brillo de las fuentes extendidas . Igualando ahora (33) con (35) resulta,

A la temperatura a la que se debe someter la resistencia para que su potencia iguale a la proveniente de la antena, se le llama Temperatura de Antena de manera que,

observándose en esta expresión la importancia de la definición de ángulo sólido en su determinación. La evaluación del primer término correspondiente a fuentes distribuidas implica dos aspectos. Uno es el que tiene en cuenta la señal no deseada que, de todos modos, entra por la antena por los lóbulos laterales, como la proveniente del piso a . El suelo abarca un angulo sólido de y proporciona un valor elevado a la . El otro aspecto tiene en cuenta la evaluación de la contribución a la desde las radiofuentes extendidas.

La será el indicador de toda la potencia que entra en la antena. En la figura 15, una fuente extendida entra su potencia en la antena por su lóbulo principal (círculos graduales). La responderá a la integración de toda la superficie.

Es posible estudiar amigos Steemians-Lectores, empleando la Mecánica Clásica, la dispersión de partículas mediante campos de fuerzas centrales (vean las referencias 2 y 8). Desde luego, si el tamaño de las partículas es del orden atómico, es de esperarse que los resultados específicos de un tratamiento clásico sean a menudo incorrectos desde un punto de vista físico, ya que en tales regiones suelen ser importantes los efectos cuánticos. En reacciones nucleares, sobre todo a altas energías y en el caso de iones pesados, las fórmulas clásicas, y en particular las aproximaciones semiclásicas, dan resultados similares a los cuánticos.

En su formulación para un cuerpo, el problema de la dispersión se ocupa de la desviación de partículas por un centro de fuerzas atractivo o repulsivo. En la figura 16 les muestro la dispersión de una partícula de masa que incide en el campo de fuerza repulsivo originado por una partícula de masa . La partícula se acerca desde el infinito, es dispersada por el campo de fuerza siguiendo una trayectoria hiperbólica y luego se aleja al infinito, de manera que se encuentra en el foco de la misma.

Al interaccionar con el centro de fuerza la partícula cambia la dirección de su velocidad , siendo el ángulo entre la velocidad inicial y la velocidad final el denominado Angulo de Dispersión, el cual será denotado mediante . Se denominará Parámetro de Impacto a la distancia perpendicular entre la dirección de la velocidad inicial de la partícula incidente y la asíntota (a la trayectoria) adyacente. Los datos iniciales que se emplean, generalmente, en problemas de dispersión en campos centrales son y la energía .

Estimados Steemians, consideremos ahora un haz uniforme de partículas (da igual que sean electrones, protones o planetas) todas de igual masa y energía que inciden sobre un centro de fuerza y supóngase que la fuerza disminuye tendiendo a cero para grandes distancias. Las diferentes partículas en el haz tienen distintos parámetros de impacto con respecto al centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes ángulos .

Se define la Intensidad del Flujo (vean la figura 17), también llamada Densidad de Flujo, como el número de partículas que atraviesan en cada unidad de tiempo una unidad de superficie colocada normal a la dirección del haz,

Obsérvese ahora la figura 18. Aquellas partículas del haz incidente que poseen el mismo parámetro de impacto son dispersadas en un cono con vértice en y semiángulo , puesto que el sistema posee simetría axial, el cual encierra un ángulo sólido .

El diferencial de ángulo sólido viene dado por,

ya que aquí es igual a la coordenada . Si es el número partículas que son desviadas dentro del ángulo sólido por unidad de tiempo , entonces se define la Sección Eficaz de dispersión como la fracción de partículas incidentes que son desviadas dentro del ángulo sólido ,

notándose que tiene unidades de superficie. Por diferenciación,

que representa la fracción de partículas dispersadas en un ángulo sólido , es decir, representa la probabilidad de dispersión en un diferencial de ángulo sólido . Ahora bien, por conservación del número de partículas por unidad de tiempo se tiene que,

que puede ser escrito como,

de donde,

o también,

donde se ha usado (39). Pero como,

entonces, al sustituir este resultado y el (37) en (43) se obtiene que,

de aquí que,

que es la sección eficaz en función del ángulo de dispersión . El valor absoluto en la derivada es para garantizar que sea positiva, puesto que representa una probabilidad. Esta expresión también puede ser escrita como,

mediante el uso de (39), que es encontrada muy frecuentemente en la literatura y es la denominada Sección Eficaz Diferencial. Aquí podemos observar la importancia del conocimiento de la definición de ángulo sólido en este estudio. El parámetro de impacto se determina a partir de la ley de fuerza que gobierna el caso particular que se esté estudiando. Uno puede darse cuenta que el conocimiento de la sección eficaz diferencial permite determinar el potencial de interacción entre el proyectil y la partícula que sirve de blanco.

Mis amigos Steemians-Lectores, se denomina Sistema Espectrométrico a aquél formado por una fuente de radiación y el detector que se utiliza para medir su actividad. Tanto las fuentes de radiación como los detectores empleados pueden ser de variados tamaños, aspectos y materiales, además de poder estar geométricamente dispuestos el uno respecto al otro en variedad de formas. Dada una fuente de radiación, siempre se intenta buscar el mejor detector para el tipo de radiación a estudiar y la mejor disposición geométrica de uno con respecto al otro para lograr la mayor detección de radiación posible, es decir, lograr la mayor eficiencia (vean las referencias 9 y 17).

FACTORES QUE AFECTAN LA EFICIENCIA DE UN DETECTOR:

No todas las radiaciones que llegan a un detector producen un pulso. La eficiencia de un detector está dada por la relación entre el número de radiaciones que cuenta y el número que le llegó. Una eficiencia de 100% implica que todas las radiaciones que llegan son detectadas. En cambio una eficiencia de 1%, por ejemplo, significa que de cada 100 radiaciones que recibe, cuenta sólo una. Es importante conocer la eficiencia de cualquier detector (calibrarlo) para tomarla en cuenta al calcular la dosis recibida.

Hay varias circunstancias que afectan la eficiencia de un detector. Una de ellas es el tipo y la energía de la radiación. Las eficiencias relativas de un detector para alfas, betas, gammas o neutrones son muy diferentes, debido a los diferentes mecanismos de interacción de cada uno de ellos con materia (ya sea el material del detector o de su envoltura). Considérese la eficiencia de un contador Geiger para radiación externa. Las partículas alfa no logran traspasar las paredes del recipiente, así que su eficiencia es cero. Las betas, en cambio, serán contadas en la medida en que puedan atravesar las paredes del recipiente; si éstas son delgadas podrá detectar la mayoría que le lleguen. Los rayos X y gamma en general pueden atravesar las paredes, pero la probabilidad de que ionicen el gas es pequeña por su baja densidad; sin embargo, esto no impide su uso en términos generales. Para detectar neutrones los contadores Geiger convencionales no sirven.

La energía de las radiaciones incidentes es otro parámetro que afecta la eficiencia de un detector. Para empezar, la energía de partículas alfa o beta determina si éstas son capaces de cruzar la envoltura y ser contadas. En el caso de rayos X o gamma, el poder de ionización depende del coeficiente de absorción para cada uno de los tres efectos (fotoeléctrico, Compton o pares). Como ya se vio, éste depende de la energía de los fotones, y en general es muy grande para bajas energías, así que es de esperarse que los contadores en general tengan mayor eficiencia con bajas energías de rayos X o gamma.

El material del detector afecta su eficiencia, principalmente por su densidad. Los detectores sólidos son más eficientes que los gaseosos porque hay más materia que ionizar. Además, en los gaseosos la presión del gas determina la eficiencia. También el tamaño de un detector es determinante para su eficiencia, porque en un detector grande hay más materia que ionizar, además de que es más difícil que la radiación se escape.

El efecto producido en el detector y la manera como éste se pone en evidencia son importantes para su eficiencia. El efecto puede ser ionización (como en los detectores gaseosos), producción de luz, excitación atómica o reacción química. Cualquiera que sea el efecto en un detector dado, éste se tiene que medir de alguna manera. Si es ionización, se puede medir con un circuito electrónico apropiado. Si es destello luminoso, se necesita una celda fotoeléctrica sensible. Si es reacción química, se identifica el nuevo compuesto, por ejemplo, por su cambio de color.

Finalmente, el aparato asociado desempeña un papel importante, por ejemplo, el circuito electrónico y el indicador de corriente en los detectores gaseosos. El acoplamiento eléctrico del detector al circuito, el nivel de discriminación para eliminar ruido electrónico, los valores y la precisión de los voltajes empleados, la magnitud de amplificación de los pulsos, la sensibilidad del indicador de caratula, la precisión de las escalas del indicador, son factores que afectan la eficiencia de conteo. Además, es importante señalar que la eficiencia debe referirse a la combinación detector-circuito-indicador, y no sólo a una parte.

Los monitores de radiación y los dosímetros dan lecturas en unidades de exposición, de dosis absorbida o de dosis equivalente. Los pulsos que produce el detector se tienen que transformar a estas unidades. Lo mismo puede decirse del ennegrecimiento de una película o del cambio de color de una solución. Siempre hay lugar a error en las lecturas debido a los procesos descritos. Los fabricantes generalmente calibran sus aparatos por comparación con fuentes de características conocidas (patrones), y recomiendan cómo se deben usar y cómo se pueden garantizar lecturas correctas. Además, algunas de sus características van cambiando con el tiempo, así que se deben verificar de cuando en cuando.

TIPOS DE EFICIENCIA:

Es posible calcular, para las distintas disposiciones geométricas fuente-detector, distintos tipos de eficiencia (vean la referencia 17):

(a) Eficiencia Geométrica :

Para una fuente puntual, ésta es la fracción de la radiación total que incide sobre la cara del cristal del detector. En otras palabras, la eficiencia geométrica de una fuente puntual es la fracción del ángulo sólido total 4? que el cristal subtiende en la fuente. Matemáticamente,

dependiendo sólo de la geometría fuente-detector. Vean como ejemplo la figura 19. Se puede observar de (48), la importancia del conocimiento de la definición de ángulo sólido para la determinación de la eficiencia geométrica.

(b) Eficiencia Intrínseca Incidente :

Es la fracción de la radiación monocromática isótropa con energía fotónica incidente sobre la cara del cristal del detector, que interactúa para producir centelleo mesurable.

(c) Eficiencia Intrínseca de la Fuente :

Es la fracción de la radiación monocromática isótropa de una fuente con energía fotónica que incide sobre la cara del cristal del detector, que interactúa para producir un centelleo mesurable.

(d) Eficiencia de pico de energía completo para la fuente y eficiencia de pico de energía completo :

Los términos y fueron definidos antes. El término es la razón del área del Pico de Energía Completo con respecto al área del espectro total de un rayo de fotones monocromático de energía y es llamado frecuentemente la Razón Pico-Total o la Fotofracción.

Para aclarar, el Pico de Energía Completo es la altura del pulso de distribución (usualmente Gaussiana) que resulta de la disipación de la energía de rayo gamma total en el cristal. El pulso completo de energía existente puede conseguirse mediante una única interacción, o múltiples interacciones incidentes que involucran el efecto fotoeléctrico, efecto Compton y la producción de pares.

Como puede observarse de todo lo anterior, la eficiencia en los sistemas espectrométricos es fuertemente dependiente de la definición de ángulo sólido . Por lo tanto, en este tipo de estudios es fundamental su aplicación.

Este tipo de problemas, la determinación de la eficiencia en los sistemas espectrométricos, es de muy vieja data y sigue siendo un duro tema de investigación en la actualidad.

Aquí les presento, mis Steemians-Lectores, 17 textos (libros de texto y artículos científicos) que consulté para la elaboración del presente post.

1. Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018.
2. Cosenza, M. MECANICA CLASICA. Universidad de los Andes (ULA). Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Mérida - Venezuela (Publicación Electrónica), 2015. Notas de clases, versión A-2015. pp. 133-141 http://www.ciens.ula.ve/cff/caoticos/PDFs/guiaMecanicaClasica.pdf.
3. Singh, S. ELECTROMAGNETICS. Discovery Publishing House PVT. LTD., 1st edition, 2009. pp. 169 - 174.
4. Portillo M., M. ELECTROCARDIOGRAFIA: TECNICA DE INTERPRETACION BASICA. VI Foro de Pediatria de Atencion Primaria de Extremadura, pp 57 - 73, Abril 2009.
5. Hayt, W. H. Jr. & Buck, J. A. TEORIA ELECTROMAGNETICA. McGRAW-HILL Interamericana, México, 7ma edition, 2006. pp. 210 - 218.
6. Uribe A., W.; Duque R., M. & Medina D., E. ELECTROCARDIOGRAFIA Y ARRITMIAS. P.L.A. Export editores Ltda., Bogotá D.C. Colombia, 2005.
7. Cárdenas, M. INFARTO POSTERIOR (DORSAL) E INFARTO DEL VENTRICULO DERECHO. Archivos de Cardiología de México, 74(1):38 – 43, Enero-Marzo 2004.
8. Greiner,W. CLASSICAL MECHANICS. SYSTEMS OF PARTICLES AND HAMILTONIAN DYNAMICS. Springer-Verlag New York, Inc., 2003. pp. 51 - 55.
9. Knoll, G. F. RADIATION DETECTION AND MEASUREMENT. John Wiley & Sons, Inc., 3rd edition, 2000. pp. 1 - 27, 103 - 127.
10. Paul, C. R.; Whites, K.W. & Nasar, S. A. INTRODUCTION TO ELECTROMAGNETIC FIELDS. WCB/McGraw-Hill, 3rd edition, 1998. pp. 110 - 117 200 - 201.
11. Okin, P. M. & Kligfield, P. SOLID ANGLE THEORY AND HEART RATE ADJUSTMENT OF ST-SEGMENT DEPRESSION FOR THE IDENTIFICATION AND QUANTIFICATION OF CORONARY ARTERY DISEASE. American Heart Journal, 127(3):658 – 667, March 1994.
12. Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992.
13. Griffiths, D. J. INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS. Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1981. pp. 215 - 220.
14. Holland, R. P. & Arnsdorf, M. F. SOLID ANGLE THEORY AND THE ELECTROCARDIOGRAM: PHYSIOLOGIC AND QUANTITATIVE INTERPRETATIONS. Progress in Cardiovascular Diseases, 19(6):431 – 457, June 1977.
15. Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135.
16. Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972.
17. Crouthamel, C. E. APPLIED GAMMA-RAY SPECTROMETRY. Pergamon Press, 2nd edition, 1970.

Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.