Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto que se encuentra dentro y fuera de su eje de simetría.

Aquí estoy nuevamente mis estimados y atentos Steemians-Lectores, saludos para todos. Continuando con mi disertación acerca del Angulo Sólido, esta vez les muestro la forma de calcular el Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto que se encuentra dentro y fuera de su eje de simetría. Todo esto lo hago con la finalidad, como es mi costumbre, de hacer más fácil de entender todos los procedimientos involucrados.

Para tener una excelente abordaje del material presentado en este post, les recomiendo leer previamente mis posts:

1. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS.
2. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
3. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
4. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
5. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO.
6. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO.
7. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 7 - PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO.
8. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA DE LAS CARAS DE UN CUBO CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN EL CENTRO DEL MISMO
9. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VERTICES.
10. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN SU EJE DE SIMETRIA.

Atentos amigos Steemians-Lectores deseamos, en esta oportunidad, calcular el Angulo Sólido subtendido por un disco de radio con respecto a un punto que se encuentra a una distancia del mismo, dentro y fuera de su eje de simetría. Lo anterior se los muestro en la figura 1(a) y 1(b).

(a) - Con respecto a un punto que se encuentra dentro de su eje de simetría:

Con la finalidad de usar 6 en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO para calcular el Angulo Sólido , se recubrirá toda mediante una serie de coronas circulares concéntricas como les presento en la figura 2. El radio interno de cada una de estas superficies es y el radio externo es , de manera que la superficie de cada corona circular viene dada por,

donde he despreciado el término de segundo orden de ya que éste es infinitesimalmente pequeño. Atentos Steemians-Lectores, es fácil determinar a partir del triángulo que cada punto sobre la corona circular está a una distancia de dada por,

y además,

entonces, a partir de la definición 6 en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO el ángulo sólido buscado vendrá dado por,

Ahora bien, al sustituir los resultados (2) y (3) en (4) nos resulta,

que al ser integrada nos resulta finalmente en,

siendo este resultado el Angulo Sólido buscado.

Si empleamos coordenadas esféricas (observen la figura 3), el diferencial de ángulo sólido vendrá dado a partir de (4) en ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN SU EJE DE SIMETRIA mediante,

entonces,

donde es el valor que toma en el borde del disco, es decir, es el semiángulo subtendido por el disco con respecto a . Al integrar nos resulta,

Ahora como,

entonces de (9) nos resulta,

siendo idéntico al resultado (6), como era de esperarse.

(b) - Con respecto a un punto que se encuentra fuera de su eje de simetría:

Mis amigos Steemians-Lectores, en la figura 1(b) les muestro un disco de superficie y de radio que se encuentra a una distancia de un punto ubicado fuera de su eje de simetría, a una distancia del mismo y en un plano paralelo al disco. Calcularemos el Angulo Sólido subtendido por el disco con respecto al punto .

Observemos ahora la figura 4. Del triángulo en la figura 4, usando el Teorema del Coseno, es posible determinar que,

y usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo que,

por lo tanto, al sustituir (13) en (14) y despejando , obtenemos,

Además,

Ahora, al sustituir (14) y (15) en la definición 4, el Angulo Sólido buscado vendrá dado por,

que es la integral que nos permite determinar el Angulo Sólido buscado. Si en la anterior expresión hacemos ( está en el eje de simetría) e integramos, obtendremos el resultado (6) como debería esperarse ya que, al hacer esto, el presente caso se reduce al estudiado en la sección anterior.

Mis estimados amigos Steemians-Lectores, la integración de la expresión (16) es bastante complicada, por no tener solución analítica en general. De hecho, se han hecho varios intentos por obtener soluciones usando métodos numéricos, métodos semianalíticos y aproximaciones, como pueden constatar en las referencias 9 hasta 16.

Mis estimados y atentos Steemians-Lectores, con todo el trabajo por mi presentado hasta aquí acerca del Angulo Sólido, creo haber aportado en lo siguiente:

1. Ampliar la bibliografía existente acerca del Angulo Sólido. En mi búsqueda, desde hace bastante tiempo atrás, no he encontrado textos dedicados exclusivamente a este tema de gran importancia en varias ramas de la ciencia y la tecnología.
2. Lograr un contenido inteligible, con cantidad de claras ilustraciones y ejemplos.
3. Proporcionar un texto de buena calidad sobre este tema para todas aquellas personas que inician sus estudios en Física Médica, donde los conocimientos sobre el ángulo sólido son de gran importancia, en especial, en aquellas áreas dedicadas a la dosimetría y detección de radiación. Lo mismo es válido para las otras áreas de la ciencia en que esta definición es útil.

Aquí les presento, mis Steemians-Lectores, 17 textos que consulté para la elaboración del presente post.

1. Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018. Página 77.

2. Mathar, R. J. SOLID ANGLE OF A RECTANGULAR PLATE. Max-Planck Institute of Astronomy, May 2015. Página 1 - 9.

3. Tipler, P. A. & Mosca, G. PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. W. H. Freeman and Company, 6th edition, 2008. Página 753.

4. Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135. Página 123.

5. Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992. Páginas 12 - 22.

6. Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972. Páginas 12 - 22.

7. Alonso, M. & Finn, E. J. FISICA - MECANICA, volume 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970. Página 22.

8. Khadjavi, A. CALCULATION OF SOLID ANGLE SUBTENDED BY RECTANGULAR APERTURES. Journal of the Optical Society of America, 58(10):1417 – 1418, 1968.

9. Rowlands, G. SOLID ANGLE CALCULATIONS. The International Journal of Applied Radiation and Isotopes, 10(2 - 3):pp. 86 – 93, 1961.

10. Masket, A. V. SOLID ANGLE SUBTENDED BY A CIRCULAR DISKSOLID ANGLE SUBTENDED BY A CIRCULAR DISK - LETTERS TO THE EDITOR. Review of Scientific Instruments, 30(10):pp. 950, October 1959.

11. Paxton, F. SOLID ANGLE CALCULATION FOR A CIRCULAR DISK. The Review of Scientific Instruments, 30(4):pp. 254 – 258, April 1959.

12. Naito, M. A METHOD OF CALCULATING THE SOLID ANGLE SUBTENDED BY A CIRCULAR APERTURE. Journal of the Physical Society of Japan, 12(10):pp. 1122 – 1129, October 1957.

13. Smith, J. H. & Storm, M. L. GENERALIZED OFF-AXIS DISTRIBUTIONS FROM DISK SOURCES OF RADIATION. Journal of Applied Physics, 25(4):pp. 519 – 527, April 1954.

14. Jaffy, H. SOLID ANGLE SUBTENDED BY A CIRCULAR APERTURE AT POINT AND SPREAD SOURCES: FORMULAS AND SOME TABLES. Review of Scientific Instruments, 25(4):pp. 349 – 354, 1954.

15. Garrett, M. W. SOLID ANGLE SUBTENDED BY A CIRCULAR APERTURE. Review of Scientific Instruments, 25(12):pp. 1208 – 1211, December 1954.

16. Berne, E. THE CALCULATION OF THE GEOMETRICAL EFFICIENCY OF ENDWINDOW GEIGER-MÜLLER TUBES. Review of Scientific Instruments, 22(7):pp. 509 – 512, July 1951.

Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.