Angulo sólido subtendido por una de las caras de un cubo con respecto a un punto situado en el centro del mismo

Reciban mis cordiales saludos toda la comunidad de Steemit, especialmente la comunidad relacionada con el proyecto Hive account@steemstem y Hive account@stem-espanol, con sus etiquetas #steemstem y #stem-espanol. Saludos mis muy queridos y atentos Steemians-Lectores. Después de ausentado por un tiempo debido a quebrantos de salud, aquí estoy nuevamente compartiendo con todos ustedes interesantes temas de ciencia. En esta oportunidad decidí mostrarles, mediante una presentación bien detallada y didáctica, la forma de calcular el ángulo sólido subtendido por una de las caras de un cubo con respecto a un punto situado en el centro del mismo. Todo esto lo hago con la finalidad de hacer más fácil de entender todos los procedimientos involucrados.

Mis estimados Steemians-Lectores, en posts anteriores les presenté la teoría que considero necesaria para entender bien lo que es el Angulo Sólido. Estos posts son los siguientes:

1. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS.
2. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
3. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
4. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
5. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO.
6. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO.
7. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 7 - PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO.

Todos los anteriores posts los elaboré con la finalidad de tener un buen y abundante apoyo teórico sobre el Angulo Sólido, el cual suele ser muy escaso en los textos que podemos encontrar donde esta definición está involucrada.

Mis amigos Steemians, en la figura 1 les muestro un cubo de lado en cuyo centro he colocado el origen de un sistema de coordenadas Cartesianas. Deseamos calcular el ángulo sólido subtendido por una de sus caras, en este caso la cara , con respecto a un punto situado en su centro. El cálculo lo haré usando coordenadas Cartesianas y coordenadas cilíndricas.

Mis Steemians-Lectores, el ángulo sólido viene dado a partir de la definición 6 en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO. mediante,

Si usamos coordenadas Cartesianas, como les muestro en la figura 2, es fácil encontrar al observar el triángulo que se cumplen las expresiones,

Si sustituimos primero (2) y después (3) en (1) obtenemos,

pero en coordenadas Cartesianas sabemos que,

por lo que podemos escribir (4) como,

donde he tenido presentes los límites de integración para y en concordancia con lo mostrado en la figura 2.

Mis Steemians-Lectores, resolvamos primero la integración con respecto a . Utilizando 1.2.43.-17 (página 92) de la referencia 3 escrita para ,

con nos resulta,

por lo cual (6) nos queda ahora como,

Si ahora, mis amigos Steemians-Lectores, utilizamos 1.2.45-10 (página 94) de la referencia 3,

con y nos resulta,

de donde finalmente,

Este resultado era de esperarse, mis estimados y atentos Steemians-Lectores. En efecto, el ángulo sólido subtedido por las caras del cubo con respecto al punto es de por cubrir todo el espacio (como ocurre para una esfera), entonces el subtendido por una de sus caras es de este valor, es decir,

Para facilitar los cálculos mis Steemians-Lectores, encontraremos primero el ángulo sólido subtendido por la octava parte de la cara del cubo que es el triángulo rectángulo de la figura 3, donde les muestro también las coordenadas cilíndricas de que son , , . De esta figura y a partir del triángulo es fácil que encontremos,

manteniéndose la expresión (2). Entonces, al sustituir primero (2) y luego (9) en (1) nos resulta,

pero, mis atentos Steemians-Lectores, sabemos que en coordenadas cilíndricas,

por lo cual (10) se puede escribir ahora como,

El problema ahora aquí, mis atentos Steemians-Lectores, es establecer los límites de integración. Las variables y están relacionadas por la ecuación de la recta que contiene al segmento que condiciona el límite superior para como se puede observar en la figura 4 (el inferior es como fácilmente se puede observar). En efecto, a partir del triángulo podemos escribir,

de donde,

que es la ecuación de la recta que contiene al segmento , proporcionando el límite superior de la variable . Ahora bien, en vista del anterior resultado (12) la podemos escribir ahora como,

donde he usado la tilde para distinguir entre variables y límites de integración. Los límites para los podemos determinar fácilmente a partir de la figura 4. Ahora, si integramos (15) obtenemos,

Finalmente, el ángulo sólido subtendido por la cara es,

de donde,

como habíamos obtenido a partir de coordenadas Cartesianas.

Mis estimados Steemians-Lectores, les presento 7 textos y un sitio web. El primero es un texto dedicado completamente al Angulo Sólido, siendo un texto único en su estilo pues no he sabido de otros textos dedicados únicamente a este tema. Los textos del 2 al 3 y del 5 al 7 sólo le dedican una pequeña sección al Angulo Sólido, lo cual es común en los textos encontrados en la literatura relacionada. En el texto 5 podemos encontrar una reseña un poco más completa ya que se le dedica un capítulo (poco extenso). La web 8 muestra el problema abordado en este post pero de una forma simplificada (en extremo), lo cual la hace difícil de asimilar. Se indican en cada caso las páginas correspondientes.

1. Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018. El preprint puede ser descargado de la página http://www.cmc.org.ve/tsweb. Página 63.

2. Tipler, P. A. & Mosca, G. PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. W. H. Freeman and Company, 6th edition, 2008. Página 753.

3. Prudnikov, A. P.; Brychkov, Y. A. & Marichev, O. I. INTEGRALS AND SERIES: ELEMENTARY FUNCTIONS, volume 1. Taylor & Francis, 1998. Páginas 92 y 94.

4. Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135. Página 123.

5. Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992. Páginas 12 - 22.

6. Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972. Páginas 12 - 22.

7. Alonso, M. & Finn, E. J. FISICA - MECANICA, volume 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970. Páginas 22.

8. Weisstein, E. W. SOLID ANGLE. MathWorldA Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SolidAngle.html.

Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.