Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto a un punto situado en su eje de simetría

Saludos para toda la comunidad de Steemit. Saludos mis Steemians-Lectores. Continuando con mi disertación acerca del Angulo Sólido, esta vez les muestro, mediante una presentación bien detallada y didáctica, la forma de calcular el Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto a un punto situado en su eje de simetría. Todo esto lo hago, como es mi costumbre, con la finalidad de hacer más fácil de entender todos los procedimientos involucrados.

Para tener una excelente abordaje del material presentado en este post, les recomiendo leer previamente mis posts:

1. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS.
2. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
3. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
4. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
5. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO.
6. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO.
7. EL ANGULO SOLIDO - PARTE 7 - PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO.
8. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA DE LAS CARAS DE UN CUBO CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN EL CENTRO DEL MISMO
9. ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VERTICES

Atentos amigos Steemians-Lectores deseamos, esta vez, calcular el Angulo Sólido subtendido por una placa rectangular de superficie , y ancho , con respecto a un punto situado en su eje de simetría a una distancia . Usaré coordenadas esféricas, de tal manera que su origen coincida con la posición de y el plano que contiene a la placa sea paralelo al plano , como les muestro en la figura 1.

Antes de comenzar el cálculo que nos hemos propuesto, primeramente les mostraré cómo escribir en coordenadas esféricas la expresión (5) del post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO, que es la definición de Angulo sólido. Esta expresión es,

Con el objetivo de escribir la anterior expresión en coordenadas esféricas, debemos escribir el diferencial de superficie en estas mismas coordenadas. En la figura 2 se observa una superficie diferencial que está sobre la superficie de una esfera de radio . De la anterior figura es muy fácil que encontremos que,

Ahora bien mis atentos Steemians-Lectores, si sustituimos la anterior expresión en (1) nos resulta,

observándose que es independiente del radio de la esfera. Por último, como es paralelo a (puesto que aquí es siempre perpendicular a la superficie ) entonces resultando finalmente,

Listo mis estimados y atentos Steemians-Lectores, ya tenemos escrito en coordenadas esféricas. Logrado lo anterior, ahora podemos continuar con el objetivo del presente post. Efectivamente, al integrar (4) podemos escribir que,

Para hallar el ángulo sólido que deseamos dividiré la placa en cuatro secciones iguales, como se muestra en la figura 3, por lo tanto el ángulo sólido subtendido por la placa será 4 veces el ángulo sólido subtendido por una de ellas. Escogeré la sección , la cual dividiré en dos secciones triangulares y . Esto lo hago debido a que en la trayectoria existe una discontinuidad en que afecta a los límites de integración, como les mostraré en lo que sigue.

Los intervalos de variación de y en la sección son,

El problema ahora, mis Steemians-Lectores, es determinar los intervalos de variación de y . En coordenadas esféricas tenemos que,

a partir de las cuales es muy fácil determinar que,

Intervalos de variación de y para la sección :

A partir de los intervalos (6), la primera de las expresiones (8) y al observar a partir de la figura 3 que comienza en resulta,

Por otro lado, a partir de la figura 3 podemos determinar que el punto que barre toda la sección tiene como coordenadas Cartesianas,

En esta sección tiene como límite la recta en la cual está contenido el segmento , por lo que los puntos sobre este segmento vendrán dados mediante,

Teniendo presente este resultado y el hecho de que en esta sección comienza en tenemos a partir de (8) que,

donde , habiendo usado la identidad trigonométrica y que .

Finalmente, en la sección los intervalos de variación para y son,

Intervalos de variación de y para la sección :

Es obvio, mis atentos Steemians-Lectores, que en esta sección partirá del límite superior del intervalo para el mismo en (13) y tendrá como límite superior por lo que,

Por otro lado, a partir de la figura 3 se puede determinar que el punto que barre toda la sección tiene como coordenadas Cartesianas,

En esta sección tiene como límite la recta en la cual está contenido el segmento , por lo que los puntos sobre este segmento vendrán dados mediante,

Teniendo presente este resultado y el hecho de que en esta sección comienza en se tiene a partir de (8) que,

donde , habiéndose usado la identidad trigonométrica y que .

Finalmente, en la sección los intervalos de variación para y son,

Evaluación de la integral (5) en la sección :

En vista de la información sobre los límites de integración para y aportada por (13) y (18), a partir de la integral (5) tenemos que el Angulo Sólido subtendido por la sección con respecto al punto de referencia lo podemos encontrar mediante,

de donde,

Ahora, mis amigos Steemians-Lectores, el problema se reduce a efectuar las integraciones. Si en las integrales con respecto a se hace el cambio de variables,

nos resulta,

y al integrar con respecto a ,

En este momento podemos hacer que las dos integrales anteriores tengan la misma forma. En efecto, si hacemos el cambio en la segunda integral obtenemos,

puesto que,

y donde he intercambiado sus límites de integración. Podemos, mis amigos Steemians-Lectores, observar fácilmente que ambas integrales en la anterior expresión tienen ahora la misma forma.

Ambas integrales en (24) tienen ahora la forma,

donde es constante. Si en esta integral efectuamos el cambio de variables,

nos resulta,

donde es una constante de integración y he usado la identidad trigonométrica para encontrar que . Esta última integral es sencilla de integrar, resultando la expresión,

por lo que (24) la podemos escribir ahora como,

Pero, según la columna correspondiente a en la tabla 4.3.45 (página 73) de la referencia 7,

entonces de (30) nos resulta,

y como a partir de 4.4.32 (página 80) de la referencia 7,

nos resulta que,

Pero, a partir de 4.4.35 (página 80) de la referencia 7,

entonces,

y además, debido a que y , la expresión (35) puede escribirse ahora como,

Finalmente, mis atentos Steemians-Lectores, el ángulo sólido buscado vendrá dado por,

de donde,

Aquí les presento, mis Steemians-Lectores, 9 textos que consulté para la elaboración del presente post. Indico las páginas consultadas.

1. Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018. Página 77.

2. Mathar, R. J. SOLID ANGLE OF A RECTANGULAR PLATE. Max-Planck Institute of Astronomy, May 2015. Página 1 - 9.

3. Tipler, P. A. & Mosca, G. PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. W. H. Freeman and Company, 6th edition, 2008. Página 753.

4. Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135. Página 123.

5. Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992. Páginas 12 - 22.

6. Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972. Páginas 12 - 22.

7. Abramowitz, M. & Stegun, I. A. HANDBOOK OF MATHEMATICAL FUNCTIONS. Dover Publications, New York, 10th edition, 1972. Página 80.

8. Alonso, M. & Finn, E. J. FISICA - MECANICA, volume 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970. Página 22.

9. Khadjavi, A. CALCULATION OF SOLID ANGLE SUBTENDED BY RECTANGULAR APERTURES. Journal of the Optical Society of America, 58(10):1417 – 1418, 1968.

Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.