Introducción a las Coordenadas Generalizadas - Para ser implementado a nivel de un curso de Física General

Afectuosos saludos para toda la comunidad de #stem-espanol, #steemstem y el resto de la numerosa comunidad de Steemit. Particulares saludos para mis curiosos y atentos Steemians-Lectores, a los cuales aprecio mucho y estoy muy agradecido por prestarle atención a mis publicaciones. Esta vez les presento un post, referente a las denominadas Coordenadas Generalizadas.

Mis estimados Steemians-Lectores, las Coordenadas Generalizadas son importantísimas a la hora de estudiar:

1. La Mecánica Lagrangiana: introducida en 1788 por el Matemático, Físico y Astrónomo, francés e italiano, Joseph Louis Lagrange 1736 - 1813 (ver figura 1 - Izquierda).
2. La Mecánica Hamiltoniana: que recibe su nombre del Matemático, Físico, Astrónomo y Filósofo irlandés, Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) (ver figura 1 - Derecha).

ya que, mis estimados Steemians-Lectores, en ambas teorías se utilizan este tipo de coordenadas para describir los sistemas mecánicos. Ambas teorías se estudian a nivel de un curso avanzado de Mecánica Clásica, por lo que las coordenadas generalizadas son introducidas a este nivel. Sin embargo, aquí les presentaré las mencionadas coordenadas de tal forma que puedan ser introducidas a nivel de un básico curso de Física General, lo cual permitiría que los estudiantes lleguen al curso avanzado de Mecánica Clásica con conocimientos previos acerca de este tema. Se requerirían sólo de conocimientos básicos de Matemática y Física, que se suponen conocidos por los estudiantes al momento de abordar este tema en un curso básico de Física General.

Para llevar a cabo el estudio o descripción de un determinado sistema mecánico es necesario conocer la posición de cada una de sus partículas (o partes que lo componen, si es un sistema donde existen cuerpos sólidos que ya no pueden ser considerados como partículas) en un instante de tiempo dado. Como todos ustedes saben, para determinar las posiciones se utilizan los Sistemas de Coordenadas. El sistema de coordenadas más sencillo y natural es el Sistema de Coordenadas Cartesianas, cuyo nombre se debe al Filósofo y científico francés René Descartes 1596 - 1650 (ver figura 2), también conocido con el nombre latinizado de Renatus Cartesius. Yo utilizaré, inicialmente, estas coordenadas en los sistemas mecánicos que aquí les presentaré.

Mis Steemians-Lectores (estoy pensando en llamarlos cariñosamente Steemians-Víctimas, así como llamo cariñosamente Víctimas a mis estudiantes 😁), hagámosnos ahora la siguiente pregunta: ¿Es posible describir sistemas mecánicos de tal manera que ángulos, áreas, energías, longitudes de arco, etc. puedan ser consideradas como coordenadas?. Seguramente, a muchos de ustedes, les parecerá bastante alocada la anterior pregunta. Bueno, exploremos con algunos sistemas mecánicos sencillos a ver qué podemos obtener de ellos para poder responder a la anterior pregunta.

Dos partículas de masas y unidas por una barra rígida: consideremos, mis atentos Steemians-Lectores, el sistema mecánico que les muestro en la figura 3, el cual está contenido por completo en el plano . Este sistema consiste en dos partículas de masas y unidas por una barra rígida (cuya masa es despreciable) de longitud , ubicadas utilizando un sistema de coordenadas Cartesianas, en el que sólo se puede mover a lo largo del eje y sólo a lo largo del eje .

Para este sistema se tiene que las posiciones de ambas partículas y las ligaduras presentes vienen dadas por,

siendo 6 el total de coordenadas del sistema mecánico,

Lo anterior nos dice que, para este sistema mecánico, en las expresiones matemáticas que representan energías, ecuaciones de movimiento, fuerzas, etc., y que resultan de la descripción del mismo, estarán presentes todas o algunas de las coordenadas mostradas en (2).

Mis estimados Steemians-Lectores, consideremos ahora el mismo sistema mecánico anterior, pero con el ángulo definido como les muestro en la figura 4.

Hagamos que,

lo cual nos dirá de qué lado del eje se encuentra la partícula para un determinado valor de . Es fácil notar que si cambiamos la posición de o la posición de , el ángulo también cambiará. Lo anterior nos indica que el ángulo es una variable que depende del tiempo, sugiriendo que este cambio debe estar relacionado matemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas de posición mostradas en (1). Bien mis Steemians-Lectores, del triángulo rectángulo amarillo de la figura 4 es fácil encontrar que,

que nos muestra la relación existente entre la nueva variable y las coordenadas y . Notemos aquí que conocer el valor de en cualquier instante de tiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y . Ahora, las posiciones de ambas partículas y las ligaduras presentes podrán ser escritas como,

1. Si únicamente sustituimos de (4) en (1):(5)desapareciendo , por lo que ahora tenemos un conjunto de variables formadas por las coordenadas Cartesianas restantes y la nueva variable angular ,(6)Lo anterior significa que todas las expresiones matemáticas que describen el sistema mecánico podrán ser escritas únicamente en función de las variables de este conjunto.
2. Si únicamente sustituimos de (4) en (1):(7)siendo ahora el conjunto de variables,(8)
3. Si sustituimos y de (4) en (1):(9)siendo el conjunto de variables para este caso,(10)

Continuando con el mismo sistema mecánico, definamos ahora la distancia desde un punto que está sobre el eje a una distancia constante del centro de coordenadas hasta la partícula (como les muestro en la figura 5), de forma que,

Notemos, mis atentos Steemians-Lectores, que el cambio de la posición de y hace que cambie en consecuencia, por lo tanto esta última es una variable en función del tiempo y debe estar relacionada matemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas mostradas en (1). Efectivamente, de la figura 5, al aplicar el Teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos de color celeste y amarillo nos es muy fácil encontrar que,

que nos muestra la relación entre la nueva variable y las coordenadas y . Notemos mis Steemians-Lectores que conocer el valor de en cualquier instante de tiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y . Si procedemos ahora como antes, las posiciones de ambas partículas y las ligaduras presentes podrán ser escritas como,

1. Si únicamente sustituimos de (12) en (1):(13)por lo que ahora tenemos un conjunto de variables formadas por las coordenadas Cartesianas restantes y la nueva variable ,(14)
2. Si únicamente sustituimos de (12) en (1):(15)siendo ahora el conjunto de variables,(16)
3. Si sustituimos y de (12) en (1):(17)siendo el conjunto de variables para este caso,(18)

Mis estimados Steemians-Lectores, pudimos notar que:

1. Si formamos un conjunto con las coordenadas Cartesianas de las partículas del sistema mecánico (3 por cada partícula), nos resultará un conjunto con un número de coordenadas igual a 3 veces el número de partículas del sistema, en este caso 6 como podemos observar en (2).
2. Pudimos definir 2 variables nuevas (una a la vez): y . Cada una de estas variables está relacionada matemáticamente con algunas de las coordenadas Cartesianas utilizadas originalmente para la ubicación de las partículas del sistema mecánico, como podemos ver en (4) y (12).

Péndulo simple: consideremos ahora, mis atentos Steemians-Lectores, el sistema mecánico que les muestro en la figura 6. Este sistema consiste en un péndulo simple de masa pendular y longitud de la cuerda . La masa pendular es ubicada utilizando un sistema de coordenadas Cartesianas, en el que la misma sólo puede moverse en el plano .

Para este sistema se tiene que la posición de la masa pendular y las ligaduras presentes vienen dadas por,

siendo 3 el total de coordenadas del sistema mecánico,

Mis estimados y atentos Steemians-Lectores, consideremos ahora el mismo sistema mecánico anterior, pero con el ángulo definido como les muestro en la figura 7.

Steemians, hagamos que,

lo cual nos dirá de qué lado del eje se encuentra la masa pendular para un determinado valor de . Es fácil notar que si cambiamos la posición de , el ángulo también cambiará. Lo anterior nos indica que es una variable que depende del tiempo, sugiriendo que este cambio debe estar relacionado matemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas de posición mostradas en (19). Bien mis Steemians-Lectores, del triángulo rectángulo amarillo de la figura 7 es fácil encontrar que,

que nos muestra la relación existente entre la nueva variable y las coordenadas y . Notemos aquí que conocer el valor de en cualquier instante de tiempo significa conocer indirectamente las coordenadas y . Ahora, la posición de la masa pendular y las ligaduras presentes podrán ser escritas como,

1. Si únicamente sustituimos de (22) en (19):(23)por lo que ahora tenemos el conjunto de variables formadas por las coordenadas Cartesianas restantes y la nueva variable angular es,(24)
2. Si únicamente sustituimos de (22) en (19):(25)siendo ahora el conjunto de variables,(26)
3. Si sustituimos y de (22) en (19):(27)siendo el conjunto de variables para este caso,(28)

Continuemos, mis atentos Steemians-Lectores, con la tarea de crear nuevas variables. Consideremos nuevamente el sistema anterior, pero pongamos atención ahora a la longitud de arco de la semi-circunferencia descrita por la masa pendular con respecto al eje , como les muestro en la figura 8.

Steemians, hagamos que,

lo cual nos dirá de qué lado del eje se encuentra la masa pendular para un determinado valor de . Es fácil notar que si cambiamos la posición de , la longitud de arco también cambiará. Lo anterior nos indica que la longitud de arco es una variable que depende del tiempo, sugiriendo que este cambio debe estar relacionado matemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas de posición mostradas en (19). Bien mis Steemians-Lectores, de la figura 8 es fácil encontrar que,

Entonces, mis Steemians-Lectores, al proceder como en los anteriores casos,

Sigamos con el anterior sistema mecánico, mis Steemians-Lectores. Consideremos ahora el área barrida por la cuerda con respecto al eje , como les muestro en la figura 9.

Hagamos ahora que,

lo cual nos dirá de qué lado del eje se encuentra la masa pendular para un determinado valor de . Es fácil notar que si cambiamos la posición de , el área también cambiará. Lo anterior nos indica que el área es una variable que depende del tiempo, sugiriendo que este cambio debe estar relacionado matemáticamente con el cambio de todas o algunas de las coordenadas de posición mostradas en (19). Bien mis Steemians-Lectores, de la figura 9 es realmente fácil encontrar que,

y si procedemos como en los anteriores casos,

Mis estimados Steemians-Lectores, como en el sistema mecánico 1, pudimos notar que:

1. Si formamos un conjunto con las coordenadas Cartesianas de las partículas del sistema mecánico (3 por cada partícula), nos resultará un conjunto con un número de coordenadas igual a 3 veces el número de partículas del sistema, en este caso 3 como podemos observar en (20).
2. Pudimos definir 3 variables nuevas (una a la vez): , y . Cada una de estas variables está relacionada matemáticamente con algunas de las coordenadas Cartesianas utilizadas originalmente para la ubicación de las partículas del sistema mecánico, como podemos ver en (22), (30) y (33).

Partícula de masa moviéndose sobre la superficie interna de un cono: para finalizar, mis estimados y atentos Steemians-Lectores, consideremos el sistema mecánico tridimensional que les muestro en la figura 10. Este sistema consiste en una partícula de masa obligada a moverse sobre la superficie interna del cono liso de ecuación ( es un ángulo constante). Al igual que antes, utilizaré coordenadas Cartesianas para ubicar a la partícula.

Para este sistema se tiene que, en coordenadas Cartesianas, la posición de la partícula y las ligaduras presentes vienen dadas por,

siendo 3 el total de coordenadas del sistema mecánico,

Consideremos la energía potencial de la partícula. Hagamos,

Por lo tanto, al usar nuestros conocimientos básicos de Física General se tiene que,

Mis estimados Steemians-Lectores, si procedemos como en los anteriores casos resulta que,

Mis estimados Steemians-Lectores, como en el sistema mecánico 1 y 2, pudimos notar que:

1. Si formamos un conjunto con las coordenadas Cartesianas de las partículas del sistema mecánico (3 por cada partícula), nos resultará un conjunto con un número de coordenadas igual a 3 veces el número de partículas del sistema, en este caso 3 como podemos observar en (36).
2. Pudimos definir 1 variable nueva: la energía potencial . Esta variable está relacionada matemáticamente con la coordenada Cartesiana utilizada originalmente para la ubicación de las partículas del sistema mecánico, como podemos ver en (38).

Podría seguir, mis estimados Steemians-Lectores, presentando infinidad de sistemas mecánicos y considerando infinidad de nuevas variables (variedad de ellas), pero los 3 sistemas anteriores son suficientes para llegar a las siguientes conclusiones:

1. Podemos definir infinidad de nuevas variables para la descripción de variedad de sistemas mecánicos. Aquí sólo se definió una variable a la vez pero podrían ser dos o más nuevas variables por sistema mecánico. Todo depende de la estructura del sistema y de lo que se desea estudiar en particular ¡la imaginación es el límite!.
2. Una condición importante es que estas nuevas variables deben estar relacionadas matemáticamente con, al menos, una de las coordenadas estándares con las que se describe inicialmente el sistema mecánico. Pude haber partido de las coordenadas esféricas o las cilíndricas, en vez de las Cartesianas. Partí de estas últimas porque son las más sencillas o naturales de usar.
3. El que existan infinidad de variables posibles, no significa que todas ellas sean buenas para llevar a cabo la descripción de un sistema mecánico. Las buenas suelen ser aquellas que simplifican cálculos y que hacen simples a las ecuaciones involucradas. Sólo la experiencia permite aprender a escoger las mejores. El caso de la figura 7 es el que normalmente hacemos en un curso de Física General para el Péndulo Simple, sin saber que estábamos creando una nueva variable que realmente simplifica las ecuaciones que describen su movimiento. En los textos de este nivel suele usarse y suele confundirse con una de las coordenadas polares, no siéndolo.

Para la elaboración del este post consulté 15 textos universitarios de distintos niveles en el área, los cuales muestro en la siguiente lista indicando la página consultada:

1. Soldovieri C., T. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. Preprint, Venezuela, 1era edición, 2018. El preprint puede ser descargado de la página http://www.cmc.org.ve/tsweb. Página 360.
2. Chow, T. L. CLASSICAL MECHANICS. CRC Press - Taylor & Francis Group, LLC, 2nd edition, 2013. Página 85.
3. Dreizler, R. M. & Lüdde, C. S. THEORETICAL MECHANICS - THEORETICAL PHYSICS 1, volume 1 of Graduate Texts in Physics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1st edition, 2011. Página 215.
4. Strauch, D. CLASSICAL MECHANICS - AN INTRODUCTION. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. Páginas 57 y 62.
5. Finn, J. M. CLASSICAL MECHANICS. Infinity Science Press LLC., 2008. Página 105.
6. Mahecha G., J. MECANICA CLASICA AVANZADA. Editorial Universidad de Antioquia, Colombia, 1era edición, 2006. Página 12.
7. Douglas G., R. CLASSICAL MECHANICS. Cambridge University Press, 2006. Página 325.
8. Ardema, M. D. ANALYTICAL DYNAMICS. Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York, 2005. Página 101.
9. Fowles, G. R. & Cassiday, G. L. ANALYTICAL MECHANICS. Holt, Rinehard and Winston, 7th edition, 2005. Página 423.
10. Scheck, F. MECHANICS. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 4th edition, 2005. Páginas 87 y 89.
11. Thornton, S. T. & Marion, J. B. CLASICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS. Thomson Brooks/Cole, 5th edition, 2004. Página 233.
12. Fetter, A. L. & Walecka, J. D. THEORETICAL MECHANICS OF PARTICLES AND CONTINUA. Dover Publicatios, INC., Mineola, New York, 2003. Página 50.
13. Török, J. S. ANALYTICAL MECHANICS - WITH AN INTRODUCTION TO DYNAMICAL SYSTEMS. John Wiley & Sons, Inc., 2000. Página 89.
14. Baruh, H. ANALYTICAL DYNAMICS. McGraw-Hill, 1998. Página 216.
15. Ruggieri C., G. MECANICA. Universidad Nacional Abierta (UNA), Caracas - Venezuela, 1994.

Como acostumbro a decirles, mis estimados y atentos Steemians-Lectores, es mi gran deseo y sería un honor para mí que la anterior información les sea de mucha utilidad. Si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.