Predicción de valores hipotéticos

Antes de comenzar a publicar mis acostumbrados temas de Ingeniería y Matemáticas, debo iniciar dando el Feliz Año 2022 para todas las personas que se dedican a compartir contenido valioso en esta plataforma HIVE BLOG, luego de mi merecido descanso de fin de año regreso con las pilas recargadas de buena vibra y esperanzas de seguir escalando en esta comunidad. Partiré con uno de mis temas preferidos, la estimación de valores o datos faltantes en una toma de data experimental, pues mezcla los conocimientos básicos en Matemáticas y las aplicaciones en Ingeniería. Resulta crucial la determinación de valores intermedios entre 2 puntos medidos experimentalmente, de tal manera que podamos conectar esos 2 puntos con 1 valor estimado a partir de una tendencia gráfica o calculado a partir de una función matemática que represente ese conjunto de datos. Lo que acabo de plantear es la predicción de valores hipotéticos estimados mediante la interpolación de valores que se encuentren entre 2 puntos que correlacionan las variables dependientes e independientes.

Me ocurrió en una clase de Instrumentación cuando tomé los datos de frecuencia de resonancia dentro de un cilindro cerrado, por un extremo un receptor (micrófono) para determinar los valores de la frecuencia y por el otro extremo tenía un emisor de sonido (parlante). El tubo cilíndrico tenía una longitud constante y debía calcular la velocidad de propagación del sonido en el medio (aire) al interior del tubo cerrado. Imagínense que esto ocurrió en el segundo año de mi carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y de instrumentos de medidas estaba casi nula, por mi mente no pasaba la toma de datos y su análisis posterior, pero para eso somos guerreras las mujeres.

De esta manera medí los valores de la frecuencia de resonancia F en función del número determinado de armónicos n, resultando los valores mostrados en la tabla de arriba y graficados los puntos experimentales en la siguiente gráfica de puntos de pares ordenados:

Interpolación:

los valores añadidos se han calculado a partir de una ecuación polinómica o lineal, dando como resultado un número entre 2 puntos conocidos. La estrategia es ir llenando los espacios vacíos o incompletos en una tabla de datos o en una gráfica, como las presentadas anteriormente. si consideramos 2 puntos conocidos, n = 2 y n = 4, podemos interpolar el valor de F en (Hz) para n = 4, mediante la siguiente expresión:

de esta manera, a partir de un cálculo sencillo y conociendo los valores de sus vecinos próximos, podemos calcular un dato adicional que pertenece a la tendencia lineal o polinómica de una serie de datos graficados en un sistema de coordenadas.

Ajuste lineal:

con los datos iniciales podemos ajustar una línea recta que considere las pequeñas desviaciones hacia arriba y hacia abajo de esta línea, este procedimiento se conoce como ajuste por mínimos cuadrados y se inserta en la siguiente gráfica:

Teniendo de base esta fórmula general para la tendencia lineal observada en nuestra toma de datos, podemos calcular el valor numérico para n = 3:

F = 6.83207∙n + 0.57747 F = 21.07368

La pregunta del millón de criptomonedas: ¿por qué 3 valores diferentes a la hora de interpolar datos? Lo primero que debemos saber es que estamos calculando los valores desconocidos (faltantes) de una variable dependiente de manera aproximada, cuya posición entre 2 puntos conocidos puede verse afectada por múltiples factores como: la incertidumbre en los datos, desviaciones en los equipos de medición y desde el punto de vista matemático, del modelo de ajuste seleccionado, además de las restricciones impuestas, como el caso que b sea igual a cero. Cuando realizo la interpolación entre los puntos n = 2 y n= 4, observo que el primer dato está por arriba del ajuste lineal y es razonable que el valor calculado con la primera ecuación indicada en esta publicación sea "ligeramente" diferente a lo representado por la ecuación propuesta por este ajuste lineal. Dicho esto, les presento la siguiente gráfica que incluye varios datos adicionales que han sido calculados por el procedimiento descrito anteriormente: La incorporación de puntos adicionales proporcionará un mejor análisis del evento estudiado, pues no da una visión clara sobre la tendencia de la variables (dependiente-independiente), así como una estimación aproximada de un valor numérico de la frecuencia de resonancia F para cualquier valor del número de armónico requerido. Al realizar un nuevo ajuste lineal a los datos completos (originales e interpolados), la desviación estándar disminuye considerablemente debido a la incorporación de datos y al decrecimiento en la separación de puntos continuos o vecinos. Para finalizar, no olvidaré calcular la velocidad del sonido en el medio que se propaga, así que usaré esta última gráfica de la frecuencia de resonancia dependiente del número de armónico para un tubo de resonancia de 25 metros de longitud. Para esto, se tiene la siguiente expresión física (la veo como una expresión matemática lineal): La pendiente está dada por la relación F/n = 6,92178 s^-1 y 2L = 50 m Satisfecha al comparar este valor calculado con la velocidad de propagación del sonido en el aire, el cual tiene un valor de 343 m/s a 20 ºC. No recuerdo haber tomado la lectura de la temperatura a la cual se encontraba ese cilindro de resonancia, pero es un valor aceptable a pesar que fue hace muchos años que realicé esa experiencia en la universidad.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Imagen de Artsy Bee: Portada: Interpolación y Extrapolación
• Blog esero: Longitud de onda y frecuencia
• Video Youtube: Interpolación y extrapolación de datos
• Artículo de Matemáticas: Interpolación y extrapolación de datos

¡Necesitamos datos!
Las herramientas matemáticas interpolación y extrapolación,
nos proporcionarán los valores aproximados que ocupen esos
espacios vacíos en nuestra tabla de datos