Funciones Inversas

^{¿Convergen en un punto? ¿Siempre son espejo de la función original?}

Las funciones no son más que relaciones matemáticas de igualdad entre un valor de entrada, asignado a una variable X cualquiera y a su correspondiente imagen, que es el resultado de realizar las operaciones aritméticas sobre la expresión algebraica que hemos denominado como "la función f(x)"

f(X) = 2X + 6

En una primera inspección diría que se trata de una función lineal, de pendiente m = 2 y con un punto de corte en el eje de ordenadas en b = 6, dado que la ecuación de una línea recta está dada por Y = mX ± b.

Debemos tener presente una metodología muy sencilla, que para cada valor de entrada, la que supuestamente lleva la persona hacia las escaleras, en este caso X = 3, se introduce dentro de la máquina de engranajes, que están acoplados a la función f(X) = 2X + 6 = Y

f(X) = 2X + 6 valor de entrada: X = 3 f(3) = 2(3) + 6

f(3) = 12
siendo este el valor de salida único, que resulta de realizar las operación aritmética suma definida por f(x). Veamos a continuación la representación gráfica correspondiente:

Funciones Inversas

Para entender de que se trata una función inversa, podemos hacer una similitud con procesos reales como introducir 1 litro de H₂O líquida dentro de un refrigerador y el producto sería un gran trozo de hielo, por lo que es lógico pensar en un proceso inverso, es decir, podemos colocar esa misma pieza de hielo dentro de una estufa para transformarlo nuevamente en 1 litro de H₂O líquida, esto puede ser llevado desde la práctica hacia una entidad Matemática llamada Función Inversa.

Sabemos que en el campo de los números reales ℝ la expresión f: A→B relaciona los 2 conjuntos, dominio (entrada) y codominio (salida) tal que Y = f(X). Dado un elemento numérico "X" del conjunto A, podemos hacer corresponder un único valor numérico "Y" del conjunto B.

Mientras que la función recíproca o inversa es tal que para un elemento numérico "Y" del conjunto B, corresponde un único valor numérico "X" del conjunto A, expresado como: f^-1: B→A. Veamos un ejemplo sencillo:

¿Cómo llegamos a esa función inversa, f^-1(Y) = Y/4?

Tal como lo enuncia la página "para encontrar la inversa, intercambie las variables y resuelva para Y"

Tomando el ejemplo inicial f(3) = 12 = Y, ahora veremos cómo funciona la máquina de las funciones inversas:

La función original y su función inversa son reflejos una de la otra considerando el punto medio la función o igualdad Y = X

Vemos que existe un punto de convergencia, donde f(X) = f^-1(X)

Restricciones de las funciones inversas:

Para cada valor de entrada le corresponde sólo un valor de salida y viceversa, por lo que una función cuadrática no cumple esta condición, a menos que se coloquen restricciones en cuanto a los rangos que hagan esta función "creciente o decreciente". También debe cumplirse el principio de unicidad de la anti-imagen y que la función sea inyectiva.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Maquinaria (GDJ)
• Guía de aprendizaje: Función matemática
• Video: ¿Cómo obtener la función inversa?