Conocido el procedimiento para constuir la pendiente de una recta [ Ver post], estamos interesados ahora en construir su ecuación.

Known the procedure to construct the slope of a straight line [See post], we are now interested in constructing its equation.

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Ecuaciones de la Recta|Equations of the Line

En todos los textos que tratan este tema conseguirán cuatro tipos de ecuaciones de la recta:|In all the texts that deal with this topic, you will get four types of equations of the line:

La ecuación Pendiente intersección|Slope intercept equation

La ecuación intersección con los ejes coordenados | The intersection equation with the coordinate axes

La ecuación general|The general equation

La ecuación dos puntos|The two-point equation

La ecuación punto pendiente|The point slope equation

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Todas ellas llevan a la misma solución: hallar la ecuación de la recta; por ello en este post vamos a tratar el asunto con solo dos de ellas: | All of them lead to the same solution:
find the equation of the line; For this reason, in this post we are going to treat the matter with only two of them:

La ecuación intersección con los ejes coordenados |The intersection equation with the coordinate axes y La ecuación pendiente intersección | The slope intercept equation

Iniciamos con | We start with:

La ecuación Pendiente intersección | Slope intercept equation

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Esta ecuación tiene dos elementos distintivos: (1) la pendiente m y (2) b (punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas y). | This equation has two distinctive elements: (1) the slope m and (2) b (point of intersection of the line with the y ordinate axis).

Esta es: This is:

y=mx+b

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Veamos el siguiente ejemplo: | Let's see the following example

El costo variable de fabricar una mesa es de $7, y los costos fijos son de $150 al día. Determine el costo total y de fabricar x mesas al día. Cuál será el costo de producir 100 sillas?

The variable cost of making a table is $ 7, and the fixed costs are $ 150 a day. Determine the total cost y of making x tables per day. What will it cost to produce 100 chairs?

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Solución | Solution

Este es un modelo de costo total lineal y viene dado por la suma de los costos variable y fijo Ct= Cv. + Cf. El costo variable depende del número de sillas x que se producen al día lo cual cambia a razón de $7 por día. Esto significa que la pendiente m=7. El costo variable es 0 cuando no existe producción, por lo tanto b=0.

This is a linear total cost model and is given by the sum of the variable and fixed costs Ct = Cv. + Cf. The variable cost depends on the number of chairs x that are produced per day, which changes at the rate of $ 7 per day. This means that the slope m = 7 . The variable cost is 0 when there is no production, therefore b = 0 .

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Luego la ecuación de Costo Total es: y=7x+150| Then the Total Cost equation is: y = 7x + 150 .

_{NOTA: Se deja al lector su gráfica y la respuesta a la pregunta formulada en el problema. | NOTE: The reader is left with his graph and the answer to the question asked in the problem}

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Intersección con los Ejes Coordenados | Intersection with the Coordinate Axes

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En la gráfica siguiente: | In the following graph:

#Observe
#Watch

Existe una intersección de la recta L con los ejes coordenados . Tales intersecciones sugieren dos puntos por donde pasa la recta L. | There is an intersection of the line L with the coordinate axes. Such intersections suggest two points through which the line L passes.

Ellos son: | They are:

P₁=(a,0) y P₂=(0,b)

Conocidos esos puntos se calcula la pendiente: | Once these points are known, the slope is calculated:

m=b/-a=-b/a₍₁₎

Sustituyendo (1) en la ecuación Pendiente Intersección y=mx+b, se tiene:

y=(-b/a)x +b | Substituting (1) in the equation Slope Intersection y = mx + b, we have:
y = (- b / a) x + b
Trasladando b al miembro izquierdo de la igualdad nos queda: | Moving b to the left side of the equality we have:
y-b=(-b/a)x

Pasando a como factor al miembro izquierdo, resulta: | Passing a as a factor to the left member, it results:
(y-b)a=-bx
Aplicando propiedad distributiva en el miembro izquierdo se tiene: | Applying distributive property in the left member we have:
ay-ab=-bx
Llevando -bx al miembro izquierdo, y -ab al derecho, resulta:
bx +ay=ab
Finalmente, dividiendo en ambos miembros de la ecuación por ab, nos queda: |Finally, dividing both sides of the equation by ab, we are left with:

x/a + y/b=1

La ecuación Intersección con los ejes coordenados. |The equation Intersection with coordinate axes.

Ejemplo: En la gráfica siguiente: | Example: In the following graph:

#Observe
#Watch

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Que la recta L intersecta al eje de las ordenadas y en b=5, y al eje de las abscisas, en x=-5/3 . Con esta inormación y aplicando (1) podemos obtener su pendiente m.

That the line L intersects the ordinate axis y at b = 5 , and the abscissa axis, at x = -5 / 3 . With this information and applying (1) we can obtain its slope m``.

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Esto es: m=5/(-(-5/3))= 5/ (5/3)=15/5=3. Luego m=3. | This is: m = 5 / (- (- 5/3)) = 5 / (5/3) = 15/5 = 3. Then m = 3.

Por lo tanto la ecuación pendiente inersepción de la recta L, es: | Therefore the slope equation inersection of the line L, is:

y=3x+5

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Ecuación General de la Recta |General equation for a straight line

Se parte de la ecuación Intersección con los ejes coordenados igualando a 0 y eliminando el denominador, así:

We start from the Intersection equation with the coordinate axes equaling 0 and eliminating the denominator, like this:

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x/a + y/b=1

Igualamos a0 | We equate to 0
x/a + y/b -1=0
Multiplicando cada término de la ecuación por ab, nos resulta: | Multiplying each term of the equation by ab , we get:

bx +ay -ab=0

Donde a y b son dos numeros reales, distintos de 0, cualesquiera. | Where a and b are two real numbers, different from 0, whatever.

En el ejmplo anterior | In the above exampley=3x+5, su ecuación general es: | its general equation is:-3x +y -5=0

Ecuación Dos Puntos | Two Point Equation

Se aplica cuando conocemos dos puntos | It applies when we know two pointsP₁=(x₁, y₁) y P₂=(x₂, y₂) por donde pasa la recta | where the line passes L.

Ilustremos este caso con un ejemplo en el contexto de la economía: | Let's illustrate this case with an example in the context of economics:

Problema | Problem

(Ecuación de Oferta) A un precio de $ 2.50 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a $4 cada unidad, la misma empresa producirá 14000 camisetas al mes. Determine la ecuación de oferta, suponiendo que es lineal.

(Supply Equation) At a price of $ 2.50 per unit, a company will offer 8000 T-shirts per month; at $ 4 each, the same company will produce 14,000 T-shirts a month. Determine the supply equation, assuming it is linear.

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Solución | Solution

Identificción de los datos | Data identification

La empresa ofrece 8000 camisetas a 2.50$ y producirá y ofrecerá a 4$, 14000 al mes, por lo tanto la ecuación de oferta dependerá de estos puntos (8000, 2.50) y (14000, 4).

The company offers 8000 T-shirts at $ 2.50 and will produce and offer at $ 4.14000 per month, therefore the supply equation will depend on these points (8000, 2.50) and (14000, 4).

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Estrategia de solución: | Solution strategy:

1. Con estos dos puntos aplicamos (1) y obtenemos la pendiente de la Recta que define la Ecuación de Oferta del problema:
   m=(4-2.50)/(14000-8000)=1.5/6000=0.00025
   Teniendo m se puede obtener el valor de b usando cualquiera de los puntos en la ecuación y=mx+b.

1. With these two points we apply (1) and obtain the slope of the Line that defines the Supply Equation of the problem:m = (4-2.50) / (14000-8000) = 1.5 / 6000 = 0.00025
   Having m the value of b can be obtained using any of the points in the equation y = mx + b .

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2)Usememos el punto (8000, 2.50) _{[El lector puede usar el otro punto para comprobar que dará el mismo resultado para b]}.
Partimos de y=mx+b, sustituimos las coordenadas del punto dado (8000, 2.50) en esa ecuación así: 2.50=(0.00025).(8000) + b
Resolviendo la multiplicación nos queda: 2.50=2 +b.
Despejando b resulta: b=0.50.

2)Let's use the point (8000, 2.50) _{[The reader can use the other point to check that it will give the same result for b]} .
We start from y = mx + b, we substitute the coordinates of the given point (8000, 2.50) in that equation like this: 2.50 = (0.00025). (8000) + b
Solving the multiplication we have: 2.50 = 2 + b.
Solving for b results in: b = 0.50 .

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Solución | Solution

Luego la ecuación de oferta es : Then the supply equation is:| y=0.00025x + 0.50
_{La gráfica se deja al lector.| The graph is left to the reader.}

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#Finalmente

La ecuación Pendiente intersección. | Slope intercept equation.

Como su nombre lo indica posee dos elementos distintivos: su pendiente m y un punto | As its name indicates, it has two distinctive elements: its slope m and a point P=(x₁, y₂).

En este caso se calcula el valor de b usando el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior y luego se sustituyen los valores de m y b en la ecuación y=mx +b obteniéndose así la ecuación deseada.

In this case, the value of b is calculated using the procedure used in the previous example and then the values ​​of m and b are substituted in the equation y = mx + b , thus obtaining the desired equation.

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Observaciones: | Observations:

1. Las rectas verticales no tienen pendiente por lo tanto las ecuaciones anteriores no tienen sentido en este caso. Su ecuación queda definida por su intersección con el eje de las abscisas, esto es: x=a.

1. Vertical lines do not have a slope, therefore the previous equations do not make sense in this case. Its equation is defined by its intersection with the abscissa axis, that is:
   x = a.

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2 ) Las rectas horizontales tienen pendiente 0, por lo tanto si sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores, nos resulta que: y=b, es decir, su ecuación queda definida por su intersección con el eje de las ordenadas.

2 ) The horizontal lines have slope 0, therefore if we substitute this value in any of the previous equations, we find that: y = b, that is, its equation is defined by its intersection with the ordinate axis.

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Referencia|Reference

Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Jagdishh C. Arya/ Robin W. Lardner. Tercera edición. | Mathematics applied to administration and economics . Jagdishh C. Arya / Robin W. Lardner. Third edition.

Créditos./Credits

El contenido de este post es totalmente inédito y se ha elaborado con ayuda de las herramientas electrónicas Excel y PowerPoint./The content of this post is totally unpublished and has been prepared with the help of the electronic tools Excel and PowerPoint.