FUNGSI KOMPOSISI

Berikut ini adalah pembahasan soal-soal matematika tentang fungsi komposisi. Mudah-mudahan pembahasan soal ini bermanfaat buat siapa saja yang membutuhkan, khususnya siswa yang kesulitan belajar matematika. Pembahasan soal ini dapat dijadikan bahan belajar untuk menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, Ujian Sekolah, UN dan lainnya. Dibawah ini pembahasan soal-soalnya.

1. Jika suatu fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = x + 5 maka f o g(x) adalah.....
   A. x + 3
   B. x + 7
   C. 2x + 3
   D. 2x + 7
   E. 2x2 + 5

Pembahasan
f o g(x) berarti x pada f(x) diganti dengan g(x)
f o g(x) = g(x) + 2 = (x + 5) + 2 = x + 7
Jawaban: B

1. Jika f(x) = x -2 dan g(x) = 2x + 3 maka g o f(x) adalah...
   A. x - 1
   B. x + 2
   C. 2x - 1
   D. 2x + 2
   E. 4x + 4

Pembahasan
g o f(x) berarti x pada g(x) diganti dengan f(x).
g o f(x) = 2 f(x) + 3
g o f(x) = 2 (x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x - 1
Jawaban: C

1. Jika f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 – 1 maka (f o g)(x) = ...
   A. x2 – 6
   B. x2 – 10x – 24
   C. x2 – 10x + 26
   D. x2 – 4
   E. x2 – 10x + 24

Pembahasan
x pada f(x) diganti dengan g(x):
(f o g) (x) = g(x) – 5 = x2 – 5 – 1
(f o g) (x) = x2 – 6
Jawaban: A

1. Jika f(x) = 2x2 + 5 dan g(x) = x + 1 maka f o g(1) = ....
   A. 5
   B. 8
   C. 11
   D. 13
   E. 17

Pembahasan:
Tentukan terlebih dahulu f o g(x)
f o g(x) = 2 g(x) + 5 = 2 (x + 1)2 + 5 = 2 (x2 + 2x + 1) + 5 = 2x2 + 4x + 2 + 5
f o g(x) = 2x2 + 4x + 7
Ganti x pada f o g(x) dengan 1
f o g(1) = 2 (1)2 + 4 (1) + 7 = 13
Jawaban: D

1. Jika f o g(x) = 2x + 4 dan g(x) = x + 1 maka f(x) = ...
   A. x - 1
   B. x + 2
   C. 2x + 1
   D. 2x + 2
   E. 2x + 4

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu invers dari g(x) yaitu
g(x) = x + 1 sehingga x = g(x) - 1 sehingga:
g-1(x) = x - 1 ( g(x) diganti dengan x)
Ganti x pada f o g(x) dengan g-1(x)
f(x) = 2 g-1(x) + 4 = 2 (x - 1) + 4 = 2x - 2 + 4 = 2x + 2
Jawaban: D

1. Jika f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 – 7 maka (g o f)(3) = ...
   A. 3
   B. 2
   C. 1
   D. – 2
   E. – 3

Pembahasan
Terlebih dahulu tentukan (g o f) (x) dengan mengganti x pada g(x) menjadi f(x):
(g o f) (x) = f(x)2 – 7 = (x – 1)2 – 7
(g o f) (3) = (3 – 1)2 – 7 = - 3
Jawaban: E

1. Jika f o g(x) = 2x2 + 4 dan f(x) = x - 2 maka g(x) = ....
   A. x - 2
   B. x + 4
   C. 2x2 + 2
   D. 2x2 + 4
   E. 2x2 + 6

Pembahasan
Untuk menentukan g(x) caranya adalah ganti x pada f(x) dengan g(x).
g(x) - 2 = 2x2 + 4
g(x) = 2x2 + 4 + 2 = 2x2 + 6
Jawaban: E

1. Diketahui f : R → R, g : R → R, f(x) = x2 + x - 1 dan g(x) = 2x + 1. Hasil dari f o g(x) adalah...
   A. 2x2 + 2x - 1
   B. 2x2 - 2x - 1
   C. 4x2 + 6x + 1
   D. 4x2 + 2x + 1
   E. 4x2 + 6x - 1

Pembahasan
Ganti x pada f(x) dengan g(x)
f o g(x) = g(x)2 + g(x) - 1 = (2x + 1)2 + (2x + 1) - 1 = 4x2 + 4x + 1 + 2x + 1 - 1 = 4x2 + 6x + 1
Jawaban: C

1. Diketahui f(x) = - 2x + 3 dan g(x) = x2 - 4x + 5. Komposisi fungsi g o f(x) =...
   A. 4x2 - 4x + 2.
   B. 4x2 - 4x + 7.
   C. 4x2 - 6x + 7.
   D. 4x2 + 2x + 2.
   E. 4x2 + 8x + 2.

Pembahasan
Ganti x pada g(x) dengan f(x).
g o f(x) = f(x)2 - 4f(x) + 5 = (-2x + 3)2 - 4 (-2x + 3) + 5 = 4x2 - 12x + 9 + 8x - 12 + 5
g o f(x) = 4x2 - 4x + 2
Jawaban: A

1. Diketahui fungsi f : R → R, g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x - 1 dan g(x) = (x + 3) / (2 - x), x ≠ 2. Fungsi Invers dari f o g(x) = ....
   A. (2x + 4) / (x + 3)
   B. (2x - 4) / (x + 3)
   C. (2x + 4) / (x - 3)
   D. (3x - 2) / (2x + 2)
   E. (3x - 3) / (-2x + 2)

Pembahasan
Terlebih dahulu tentukan f o g(x) dengan cara mengganti x pada f(x) dengan g(x).

Catatan:
Cara menginvers fungsi pembagian f(x) = (ax + b) / (cx + d) maka f-1(x) = (-dx + b) / (cx - a)
Jawaban: B

1. Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = (x - 3) / (x + 1), x ≠ - 1. Invers dari g o f(x) adalah...
   A. (4x + 1) / (3x + 4)
   B. (4x - 1) / (-3x + 4)
   C. (3x - 1) / (4x + 4)
   D. (3x + 1) / (4 - 4x)
   E. (3x + 1) / (4x + 4)

Pembahasan
Ganti x pada g(x) dengan f(x).

Jawaban: D

1. Jia f(x) = 2x, dan g(x) = x + 1 dan h (x) = x3, maka hasil dari (h o g o f) (x) adalah…

Jawab
f (x) = 2x
g (x) = x + 1
h (x) = x3
(g o h o f) (x) = ???

Tahap pertama kita kerjakan untuk (g o h) (x)
Ini artinya kita masukan nilai h (x) untuk menggantikan nilai x pada g (x)
(g o h) (x) = (x) + 1
(g o h) (x) = (x3 )+ 1
(g o h) (x) = x3 + 1

Tahap kedua kita kerjakan (g o h o f) (x)
yang berate nilai dari f (x) kita ambil untuk menggantikan nilai dari (g o h) (x) =
sehingga diperolah
(g o h o f) (x) = (x)3 + 1
(g o h o f) (x) = (2x)3 + 1
(g o h o f) (x) = (8x)3 + 1
(g o h o f) (x) = 8x3 + 1
Maka hasil dari (h o g o f) (x) adalah 8x3 + 1
Menentukan bentuk asal fungsi

1. Diketahui f (x+1) = 4x + 1 dan (f o g) (x) = 12x – 23, dapatkah kamu menentukan f (x) dan g (x) ?
   Jawab.
   Langkah pertama
   Kita misalkan a = x + 1 sehingga x = a – 1
   F (x + 1) = 4x + 1
   f (a) = 4 (a – 1 ) + 1
   f (a) = 4 a – 4 + 1
   f (a) = 4t – 3
   Dengan mengganti t pada f(a) = 4a – 3 dengan x, diperoleh f(x) = 4x – 3. Jadi, f(x) = 4x – 3.

2. Berikutnya akan kita cari dengan ncara yang sama nilai dari g (x) ….?
   (f ₒ g) (x) = 12x – 23
   f (g(x)) = 12x – 23
   4g (x) – 3 = 12x – 23
   4g (x) = 12x – 23 + 3
   4g (x) = 12x – 20
   g (x) = 3x – 5
   Jadi, g(x) = 3x -5.

3. Diketahui f (x) = 5x – 3 dan g (x-2) = 2x +3 tentukan
   a. Rumus fungsi g (x)
   b. h (x) jika diketahui (h o g) (x) = 6x + 23

Jawaban
a. Misalkan a = x – 2 → x = a + 2
g (x – 2) = 2x + 3
g (a) = 2 (a + 2) + 3
g (a) = 2a + 4 + 3
g (a) = 2a + 7
g (x) = 2x + 7
Jadi, rumus fungsi g (x) = 2x + 7

b. Misalkan g(x) = a = 2x + 7 → a - 7/2
(h ₒ g)(x) = 6x + 23
h (g(x)) = 6x + 23
h(2x + 7) = 6x + 23
h (a) = 6 (a-7/2) + 23
h (a) = 3 (a – 7) + 23
h (a) = 3a + 2
h (x) = 3x + 2

Jadi, h (x) = 3x + 2

1. Relasi
   Aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke B disebut Relasi dari A ke B.
   Di tulis : R : A→B.
   Istilah-istilah :
   Himpunan A disebut Domain = Daerah Asal
   Himpunan B disebut Kodomain = Daerah Kawan
   Range = Daerah Hasil

1. Menyatakan Relasi
   Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu :

2.  Diagram Panah
   

3.  Himpunan Pasangan Berurutan
   

4.  Grafik Cartesius
   

5. Produk Cartesius
   Jika x ϵ A dan y ϵ B, maka produk Cartesius A ke B adalah himpunan pasangan berurutan (x, y).
   Ditulis : AxB ={(x, y)І xϵ A dan yϵ B}
   Contoh :
   A = {a, b, c}
   B = {1, 2}
   maka dengan menggunakan tabel A x B di peroleh :
   A x B 1 2
   a (a, 1) (a, 2)
   b (b, 1) (b, 2)
   c (c, 1) (c, 2)
   A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
   Sifat-sifat :

6.  A x B ≠ B x A
   

7.  n(A x B) = n(B x A)
   

8. Pemetaan (Fungsi)

Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota himpunan B.
Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
Komposisi dua fungsi dan dinotasikan dengan simbol atau .
dimana

Sifat Komposisi Fungsi


Contoh :
diberikan fungsi :

1. = ….?

• fungsi disubtitusikan ke fungsi

1. = ….?

• fungsi disubtitusikan ke fungsi

1. =…?

• fungsi disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi nah, hasilnya baru disubtitusikan ke fungsi , perhatikan warna mewakili subtitusi ….ok!

Bagaimana contoh diatas? sudah cukup jelas,kan?!

Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya….

Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui

1. Mencari jika dan diketahui
   contoh soal dan pembahasan :
   Diketahui dan tentukan fungsi !
   jawab :

2. Mencari jika dan diketahui
   contoh soal dan pembahasan :
   Diketahui dan tentukan !
   jawab :

Kita misalkan dulu :