![image.png](https://images.hive.blog/DQmQA1zMSR4ZgPxb77bmZBs54twmNaMev5HwdXKkHYuZZti/image.png)

En este post queremos deducir la técnica para derivar el producto de las funciones de variable real continuas y diferenciables, g y h.

In this post we want to deduce the technique for deriving the product of the continuous and differentiable real variable functions, g and h.

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Inicialmente, vamos a deducir esa técnica usando la definición formal de derivada. // Initially, let's deduce that technique using the formal definition of a derivative.

### Esto es:// This is

Dadas las funciones g y h, con dominio en R (el conjunto de los números reales), se quiere determinar y aplicar en ejemplos la técnica para derivar la función f definida por f(x)=g(x).h(x).

Given the functions g and h, with dominance in R (the set of real numbers), we want to determine and apply in examples the technique to derive the function f defined by f(x)=g(x).h(x).

### Comencemos // Let's start

Sabemos que la derivada de una función f en cualquier punto de su dominio está dada por:// We know that the derivative of a function f at any point in its domain is given by:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmQkgkkndDtnivHV3BgMrfNWKLszMbn5QjN8JZtyPHPy39/image.png)

Pero, en nuestro caso particular, f(x) esta definida como un producto de dos funciones g y h, así: f(x)=g(x)/h(x).

But, in our particular case, f(x) is defined as a product of two functions g and h, like this: f(x)=g(x)/h(x).

Por lo tanto, dicha definición adecuada a la definición de f es esta:// Therefore, such a definition appropriate to the definition of f is this:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmTbVD7Wm2rL2adbHcdwvnQqpVFRgJ3zMpVmVy3Qhed5a7/image.png)

Aplicando la definición de producto de funciones, la expresión anterior queda así:// Applying the definition of a feature product, the above expression looks like this:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmQo4JRunFWXfnGwCJDhEhPCGbaDVTZdLZrZTaobTs7NSV/image.png)

Sumando y restando en el numerador // Adding and subtracting in the numerator g(x+Δx)h(x)

### El resultado es este:// The result is this:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmW744tR9WJdhGYHGSsMpouZUYEGKcfgHyXSrF44h4Ca5L/image.png)

Sacando factor común, va resultando esto:// Finding a common factor, the result is this:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmX3mj18oMh9LS5CDuUryVPNZUp8UziUKJ9FuwG5Cxbv1X/image.png)

#### Como g es continua y Δx→0, then: //Since g is continuous and Δx→0, then: g(x+ Δx)=g(x)

De tal manera, que nuestra expresión toma la siguiente forma:// Thus,our expression takes the following form:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmPBj2wNtR5sj3g52fHzP2S5oaznFQMPmW8DtzUBamJg2x/image.png)

Separando en suma de fracciones y aplicando los teoremas de límites, nos queda así:// Separating the sum of fractions and applying the limit theorems,we get as follows:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmWwYbaYWswqVQfV2qz8VFC5TcgJyMFFZfsZbneje8w6z3/image.png)

Lo cual se reduce a:// Which boils down to:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmVn6rPn14q8f3hxvRwBLJRe99x4HYaapDmJ8zdGzTFGpD/image.png)

### De donde:// Where from: || |---| |![image.png](https://images.hive.blog/DQmPxGFxrYygNd6ey2qCZ8xUUQy7FFn2SFv39D9MzkzrASs/image.png)| ||

Lo cual, es la fórmula que estábamos buscando. // Which, is the formula we were looking for.

### ¿Cómo se aplica esta fórmula? // How is this formula applied?

### Veamos un ejemplo:// Let's look at an example:

### Hallar la derivada de:// Find the derivative of: ![image.png](https://images.hive.blog/DQmYuxDdjYWvawPU3DvXjZPmekR4V9vY6mGWQAzrUYguDYw/image.png)

Aquí se nos está solicitando que derivemos a la función ''y'', la cual es el producto de dos funciones, ellas son:

Here we are being asked to derive the function ''y'', which is the product of two functions, which are:

La primera función es √x+1 y la segunda es (x²+x-1) // The first function is √x+1 and the second is (x²+x-1)

Ahora, vamos a aplicar la fórmula, en tal sentido, derivemos la primera de las funciones.// Now, let's apply the formula, in that sense, let's derive the first of the functions.

Es decir, (√x+1)', cuyo resultado es:// That is,(√x+1)', the result of which is: ![image.png](https://images.hive.blog/DQmc7sYYrADnaytvRyht8Ga3efro1uEZXxthG3yUTMNzkhV/image.png)

Y luego, la segunda: (x²+x-1)', cuyo resultado es:// And then the second one: ( x²+x-1)', the result of which is: 2x+1

Sustituyamos estos resultados en la fórmula de la derivada de un producto:// Let's substitute these results into the formula of the derivative of a product: ![image.png](https://images.hive.blog/DQmcmz957Sz6pCywXaByGmrG2kv18PKUPxm9sPDRJNCuLbE/image.png)

De donde:// Where from: ![image.png](https://images.hive.blog/DQmbc5R8ZJ1RX3i1hsMuso9D6TPzPQePT1kzwXFZmQugnPC/image.png)

Lo cual es el resultado deseado:// Which is the desired result:

A continuación, dejo algunas actividades para el lector, cualquier duda puede ser planteada a través de los comentarios, con gusto responderé.

Below, I leave some activities for the reader, any questions can be raised through the comments, I will gladly answer.

Hallar la derivada de:// Find the derivative of:

![image.png](https://images.hive.blog/DQmephc8TawNrtVFMtY4VHYN9NQgz6CWe3dQX68MEQiWYPd/image.png)

![image.png](https://images.hive.blog/DQmTuZseomeYDs3UgWBkdWAY2LYhfJdqMc3rqRg6S4VDkeM/image.png)

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El texto es original de la autora, la image es de Pixabay.

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