O tema das dizimas periódicas é recorrente nos mais amplos níveis da sociedade. Desde de jovens estudantes até pessoas que já atuam no mercado de trabalho. Tendo isso em vista, resolvi abordar o assunto.

O que é uma dizima periódica?

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Uma dizima periódica é um número que quando escrito da forma decimal, apresenta em determinado momento a repetição de algum período.

Exemplos:

0,3333333333333333333333...
2,666666666666666666666...
4,999999999999999999999...
0,2323232323232323232323...
0,0005555555555555555555...
0,0024252425242524252425...
9,12345678901234567890...
0,5687142857142857142857...

O que é o período:

O período é a parte da dizima periódica após a virgula em que há a repetição.

Períodos dos exemplos dados de dizimas:

3 (1 algarismo)
6 (1 algarismo)
9 (1 algarismo)
23 (2 algarismos)
5 (1 algarismo)
2425 (4 algarismos)
1234567890 (10 algarismos)
142857 (6 algarismos)

O que é o antiperíodo:

O antiperíodo é a parte da dizima periódica após a virgula em que não há a repetição.

Antiperíodos dos exemplos dados de dizimas:

000
00
5687

Existem dois tipos de dizimas periódicas:

Simples: o período vem logo após a virgula. Exemplos: 0,3333333... e 0,67676767...
Composta: o período não vem logo após a virgula. Exemplos: 0,005555... e 0,0121212...

Como transformar uma dizima periódica em fração?

Primeiramente devemos sempre que possível, separar a parte inteira e a parte decimal do número. Possibilitando assim, cálculos mais simples. Após isso, devemos observar se a dizima é simples ou composta;

Dizimas simples:

Dizimas como 0,121212... , 7,2222... , são bem fáceis de resolver. Para transformá-las em fração, deve-se utilizar o período como numerador da fração e o denominador será formado pelo dígito 9. O que determina a quantidade de dígitos 9 que serão utilizados é a quantidade de algarismos do período. Exemplos:

0,121212... Temos uma dizima simples, portanto podemos utilizar o método dado. O período é 12 e tem 2 algarismos. Portanto a fração será: 12/99
7,2222... Pode-se escrever esse numero da seguinte forma 7 + 0,2222... . 0,2222... tem período 2 e tem 1 algarismo. Portanto 0,2222... = 2/9. O número 7 pode ser escrito da forma 63/9, sendo assim, temos que 7 + 2/9 = 63/9 + 2/9 = 65/9

Dizimas compostas:

Dizimas como 0,00055555... e 0,0324252425... , já são um pouco mais trabalhosas. Para transformá-las em fração teremos o numerador como o (antiperíodo seguido do período) - (o antiperíodo). O denominador será composto de 9s e 0s. A quantidade de 9s será a quantidade de dígitos do período e a quantidade de 0s será a quantidade de dígitos do anteperíodo. Exemplos:

0,00055555... . Numerador = (antiperíodo seguido do período) - (o antiperíodo) = (0005) - (000) = 5. Denominador, período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 3 algarismos, logo o denominador será: 9000. Portanto a fração será: 5/9000 = 1/1800
0,0324252425... . Numerador = (antiperíodo seguido do período) - (o antiperíodo) = (032425) - (03) = 32422. Denominador, período tem 4 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos, logo o denominador será: 999900. Portanto a fração será: 32422/999900