贺深泽 (Email：heshenze@gmail.com )

2.3 Lin 的定理 1

Let γ=n₂. Then design L in (2.1) is an orthogonal Latin hypercube if:

(i). A and D are orthogonal matrices of ±1,

(ii). Both B and C are orthogonal Latin hypercubes,

(iii). At least one of the two, A^TC = 0 and B^TD = 0, holds.

(iv). At least one of the following two conditions is true:

(a). A and C satisfy that for any i, if p and p′ are such that c_pi= - c_p'i, then a_pi= a_p'i;

(b). B and D satisfy that for any j, if q and q′ are such that b_qj= - b_q'j, then d_qj= d_q'j.

作者没有给定理 1 做证明，按照作者的系统设计，引理 1 保证(2.1)构造的 L 是LH，引理 2 保证它是正交的，从而保证 L 是 OLHD。既然引理 1 不能保证 (2.1) 构造的 L 是LH，还能保证 (2.1) 中的 L 一定是 OLHD 吗？

对于任意一个满足条件 (ii) 的 C (或 B)，根据(iv)能够构造出满足条件 (i) 的 A,D 吗？在这条定理下作者没有给出说明，也没有给出符合该定理的实施例。

作者说：“A or D is a matrix of all plus ones ”. 而 matrix of all plus ones 不是正交矩阵，也不是“Hadamard submatrices”，不满足条件(i)。作者让 “ C has a foldover structure in the sense that C = (C₀^T,-C₀^T)^T”, 作者具体化的 " C=[(1/2,-1/2)^T,(-1/2,1/2)^T]^T"，然而这样的 C 不是正交矩阵，更不是“orthogonal Latin hypercubes”，不满足条件(ii)。用 “ (1,1)^T” 冒充 A，用“ (1/2,-1/2)^T” 冒充 C，确实得到了作者所期望的结果，目测为真。换句话说，不满足定理条件的 A,B,C,D 可以得到作者期望的结果。

这里显然出现了理论危机。为了摆脱危机，作者蛮干， “if a design B or C has only one factor, it is orthogonal by our definition.” (Lin (2008) p.21) 这是强制定义。这种强制定义既不符合数学定义规范，也违背常识。数学没有这么干的，其副作用我们后面会看到。

文中的例 1 和 2 都强制定义“(1,1)^T” 是 Hadamard 矩阵， “(1/2,-1/2)^T” 是 OLHD，在其表 2 中定义 (x₁,-x₁) 为正交矩阵。不正交的矩阵我们可以这样强制定义它是正交的？显然，作者适用系统模型不当，这些结果不能从张量积导出，可以从堆叠模型导出，从而摆脱危机，详见本文附录。

2.3 关于 Proposition 1

Lin's Proposition 1. If n₁= n₂= n₀ and A,B,C,D and γ are chosen according to Theorem 1, then design (L,U) is an orthogonal Latin hypercube with 2m₁m₂ factors where L is as in Theorem 1 and U = - n₀A⊗B+C⊗D.

Lin's Proposition 1 的积极意义在于在扩展设计的运行数的同时扩展因子数量。但是，如果考虑到用张量积构造正交超立方存在的缺陷. 其点阵分布有失均衡，某些列可以用，总体来说点分布很不均衡。这种操作的结果通常是一个很大的矩阵。以 Lin 2008 (p.23) 例 2.5 为例，原矩阵见图 2. 按Lin 方法得到的 Z=(L,U) 是一个 64×32 阵列，全部不同的二维画面数为 416 幅，还有416幅与这416幅对称。难以列出全部二维点阵图，列出 Z 的第一列与所有其他列的二维点阵图，见图 3 和图 4. 其他列的情况大体如此，大同小异。在 L 或 U 内部，任何两列的二维点阵图大体是图 3 所示的某一幅，然在 L 与 U 之间，L 的任何一列与 U 之间的一列的二维点阵图都比较均衡（见图 4）。这意味着，一个设计要想点阵如图 4 般比较均衡，不能同时包含 L 的两个列，也不能同时包含 U 的两个列，也就是说只能包含两个列，一列在 L 中，另一列在 U 中。在构造 L，U 时，可以分别使用不同的（同构或非同构）同尺寸 B，但构造同一个 L 或 U 时，不能使用不同构的 B 或 C 利用 Bingham (2009) 方法改进，那样得到的不一定是 OLHD。

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图 2. Lin 2008 例2.5 原矩阵截图

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图 3. Lin 2008 例2.5 的 L 或 U 内部列的二维点阵图。

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图 4. Lin 2008 例2.5 的 L 与 U 之间列的二维点阵图。

Lin 2008 (p.23)例 2.5 的两种扩展方式：基于张量积以及 (LU) 点阵性质在均衡分布方面都不能令人满意。（未完待续）

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