¡Saludos y bienvenidos a la presente publicación! En esta ocasión compartiré con ustedes una metodología útil en la Estática Aplicada para ciertos casos particulares de cargas externas aplicadas a sistemas isostáticos. Podríamos ver esta “metodología” como un “paso intermedio” que los libros no suelen abordar con mucho detalle pero que suelen aparecer a la hora del examen.
Continuando con esta serie de publicaciones dentro del ámbito académico, la presente entrada abordará casos y procedimientos que la bibliografía disponible en la web y en textos universitarios no suelen abordar pero que serían de gran ayuda para cualquiera que curse esta asignatura en la carrera de Ingeniería Civil.
La importancia de esta publicación radica en que representa un paso previo a la elaboración de los Diagramas de Solicitación, diagramas de mucha importancia en cualquier ámbito de la Ingeniería Estructural y que el estudiante aprende a realizar en esta asignatura. Si bien hoy en día existen programas computacionales que elaboran estos diagramas en cualquier sistema estructural modelado con solo pulsar unas teclas, es importante para el estudiante aprender y valorar el cálculo que hay detrás, y más importante aún, adquirir sensibilidad respecto de los resultados.
Introducción |
A lo largo de la presente publicación debemos tener en mente que los procedimientos que se llevarán a cabo se realizan con el fin de “preparar el terreno” para la elaboración de los Diagramas de Solicitaciones. Esto significa que, si no es necesario elaborar dichos diagramas, no será necesario aplicar los procedimientos de la presente publicación y quizás tampoco los de la anterior (Transformación de reacciones al sistema local en barras inclinadas).
En la anterior publicación se estudió la Transformación de reacciones al sistema local en barras inclinadas, donde las reacciones encontradas producto del despiece se proyectan de un sistema de coordenadas a otro, es decir, de un sistema general (ejes “X” y “Y” convencionales) a un sistema local (par de ejes, uno paralelo y otro perpendicular al eje de cada barra). Esto se ilustra en la siguiente imagen:
En esta publicación haremos algo parecido, solo que en este caso proyectaremos las cargas externas al sistema local. Esto es necesario cuando nos encontramos con cargas externas (distribuidas o puntuales) que se aplican en una dirección inclinada respecto al eje de la barra. Puede que la barra esté inclinada o puede que sea horizontal/vertical, pero lo que nos interesa es la dirección de las cargas externas que están aplicadas sobre ella (Fig. N°1):
Tal como se observa en la Figura N°1, las cargas externas de 2000 kgf y de 2500 kgf/m necesitan proyectarse al sistema local de la barra donde se aplican (“BC”).
Si las cargas externas ya de por sí actúan en dirección de los ejes locales de cada barra del sistema, no será necesario realizar ningún procedimiento adicional y se puede proceder a los Diagramas de Solicitaciones luego del despiece del sistema isostático, como es el caso de las barras “AB” y “CD” de la Fig. N°1.
Los Diagramas de Solicitaciones de una barra del sistema isostático dependen directamente de las cargas externas que actúan en ella, por ello es necesario proyectarlas o descomponerlas en direcciones axial y cortante ya que de allí parte la elaboración de los Diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector, las cuales son las tres solicitaciones más importantes en sistemas planos. En la publicación “Cálculo de reacciones internas (solicitaciones) mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos” se realiza un abordaje a modo de introducción al significado de estas tres solicitaciones.
Cargas externas en sistemas isostáticos |
En la publicación “Cálculo de reacciones externas mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos” se abordaron los conceptos de cargas, cargas distribuidas, puntuales, momentos, etc. En la siguiente Tabla, vemos una perspectiva general del alcance de esta publicación:
Tabla N°1. Tipos de cargas en el plano
| Tipo de carga | Requiere proyección al S.L. | Ejemplo |
|---|---|---|
Puntual (Fuerza) | Si |  |
Distribuida | Si |  |
Momento | No |  |
Fuente: elaboración propia
En sistemas planos, los momentos actúan alrededor de un eje perpendicular al plano del sistema isostático, por lo que estos no requieren proyección o cambio alguno. Nos concentraremos en las cargas puntuales (fuerzas puntuales) y en las cargas distribuidas.
Fuerzas puntuales |
Supongamos una barra inclinada con una fuerza puntual “F” aplicada verticalmente hacia abajo en su punto medio. El problema consiste en encontrar las componentes en dirección axial “FN” y cortante “FV” de dicha fuerza.
A primera vista, es posible que lo primero que se piense es en usar directamente las identidades trigonométricas para calcular la magnitud de las componentes deseadas de dicha fuerza. Pero esta forma suele ser poco práctica en algunas ocasiones y, por lo tanto, poco efectiva. Para aplicar las identidades trigonométricas, es necesario conocer un ángulo, el cual hay que calcular.
Es por ello que personalmente recomiendo encontrar estas componentes por medio de una relación entre los catetos y la hipotenusa del triángulo generado por la barra inclinada, siendo conocidas las distancias en horizontal y en vertical. Esto se ilustra en la siguiente Figura:
Ahora una explicación de lo que se realizó en la Fig. N°3:
El proceso consiste en generar un triángulo con la fuerza conocida “F” y sus componentes “FN” y “FV”. Luego relacionaremos este triángulo con la pendiente de la barra (es decir, otro triángulo que relaciona las distancias conocidas en horizontal y en vertical) fijando un ángulo cualquiera el cual se encontrará en ambos triángulos y nos servirá para relacionarlos.
Una vez fijado el ángulo, es posible diferenciar cual es el cateto opuesto y el adyacente en ambos triángulos y utilizar las identidades trigonométricas para relacionar la magnitud de la fuerza “F” con la magnitud de sus componentes “FN” y “FV”.
Tal como mencioné en el anterior artículo, este proceso de “relacionar los catetos de ambos triángulos” puede ser un poco difícil de internalizar a la primera vez, pero una vez lo logras manejar con presteza es mucho más efectivo que calcular las componentes de una fuerza de la manera tradicional (multiplicando por las identidades Sen o Cos).
El resultado de todo esto se muestra en la Fig. N°4:
Se puede incluso llegar a una ecuación general para el cálculo de las componentes “FN” y “FV” (Fig. N°5):
Estas ecuaciones son aplicables siempre que la barra sea inclinada (cualquier ángulo) y que la fuerza “F” sea horizontal o vertical. Note que no importa en qué punto de la barra se aplique esta fuerza. Lo único que se debe calcular por separado es la longitud de la barra “L”.
“lq” es la distancia frontal (perpendicular) a la carga, mientras que “ll” es la distancia lateral o paralela a la dirección de aplicación de la carga. Si la fuerza puntual es horizontal en vez de vertical, “lq” pasaría a ser la longitud en vertical.
A pesar de lo útil y práctica que puede resultar la aplicación directa de estas ecuaciones, es importante saber cómo llegar a ellas (demostración algebraica) a partir de valores genéricos como los mostrados en la Fig. N°5 (dejé en blanco los triángulos que se deben relacionar para que el lector/estudiante demuestre estas ecuaciones por su cuenta).
¿Qué hacemos si la barra se encuentra horizontal/vertical y tenemos una fuerza puntual inclinada actuando sobre ella? En este caso no tenemos más opción que multiplicar la magnitud de dicha fuerza por el Sen y el Cos del ángulo de inclinación, el cual debe ser conocido.
Cargas distribuidas |
Si una carga distribuida “q(x)” se aplica en una dirección inclinada respecto al eje de la barra, se deberán encontrar sus componentes “qN(x)” y “qV(x)”. Aunque las cargas distribuidas pueden adoptar la forma de cualquier función f(x), se suelen presentar según las siguientes formas: rectangular (uniforme), triangular o trapezoidal. Esta última forma su suele separar en una carga rectangular más una triangular para mayor simplificación de los cálculos.
A continuación, vamos a abordar cada una de estas formas de carga distribuida por separado.
Carga distribuida uniforme (rectangular)
Al igual que con la fuerza puntual, nos referiremos a una barra inclinada sometida a una carga distribuida uniforme en dirección vertical. De ahora en adelante, utilizaremos solo letras o valores genéricos para así llegar a ecuaciones generales que podamos utilizar directamente en cualquier caso donde se necesite proyectar cargas distribuidas al sistema local.
En este caso, la longitud frontal a la carga “lq” depende de la distancia que la carga distribuida abarque y no necesariamente a la longitud total de la barra. Lo mismo ocurre con la longitud lateral a la carga “ll”.
Para simplificar el problema, convertiremos esta carga distribuida uniforme “q” en una fuerza puntual equivalente “F’” multiplicando su magnitud por la longitud que abarca (lq) (es una carga rectangular por lo que su área es base por altura). Luego de esto, se realiza exactamente lo mismo que se realizó anteriormente con la fuerza puntual, utilizando las ecuaciones de la Fig. N°5 (Fig. N°6).
Como se observa en la Fig. N°6, una vez calculadas las componentes de la fuerza equivalente, “F’N” y “F’V”, aún no llegamos al resultado que deseamos porque estas fuerzas son puntuales y no distribuidas. Para encontrar las cargas distribuidas que nos interesan, dividiremos estas dos fuerzas equivalentes entre la longitud efectiva “L” de la carga distribuida originaria para así hallar las cargas distribuidas que deseamos (qN y qV).
Note que esta longitud efectiva “L”, no corresponde necesariamente a la longitud total de la barra, puede que la carga distribuida se aplique solo en una porción de esta.
Una vez obtenidas las magnitudes de “qN” y “qV” debemos representar estas cargas aplicadas en la barra.
La componente en dirección cortante “qV” es una carga distribuida uniforme similar a la inicial pero que actúa en dirección perpendicular a la barra. Por otra parte, “qN” la cual es la componente en dirección longitudinal o axial, es una especie de “carga axial distribuida” la cual es uniforme a lo largo de toda su longitud (más adelante hablaremos de este tipo de cargas distribuidas). En la Fig. N°7 se muestra el resultado de este proceso:
El sentido de aplicación de estas cargas es definido según la carga original ya que son componentes directas de esta.
Carga distribuida triangular
En este caso, la carga distribuida posee una variación lineal desde cero hasta un valor “q” (o viceversa). El proceso es el mismo, solo que la fuerza puntual equivalente se calcula según el área del triángulo, la cual es: base (lq) por la altura (q) entre dos (2). Podemos intuir que el resultado final sería el mismo que con la carga distribuida uniforme pero dividido por dos (Fig. N°8):
Se debe recalcar que el resultado de proyectar esta carga triangular al sistema local de la barra serán dos cargas triangulares: tendremos una carga triangular en dirección del eje cortante “V” (similar a la original), y una carga triangular en dirección del eje longitudinal o axial “N” (Fig. N°9):
Tanto la carga perpendicular como esta “carga triangular axial” va desde cero hasta un valor dado de manera semejante a como lo hace la carga triangular original.
Carga distribuida trapezoidal
Supondremos ahora que la carga distribuida va desde un valor menor “qm” hasta un valor mayor “qM” (puede que vayamos también de un valor mayor a uno menor, pero el principio es el mismo). Lo que haremos será separar la carga trapezoidal en una carga rectangular más una carga triangular (Fig. N°10):
Utilizando las ecuaciones ya obtenidas anteriormente para los casos de la carga uniforme y la carga triangular, podemos obtener resultados separados de las cargas en el sistema local (Fig. N°11):
Para obtener el resultado final, debemos superponer los resultados obtenidos tanto para la carga rectangular como para la carga triangular, esto se hace en ambos extremos por separado, teniendo en consideración que en el extremo donde el trapecio original posee menor carga (qm) solo actuarán las cargas obtenidas del rectángulo, y en el otro extremo la carga resultante es la suma tanto del rectángulo como del triángulo. (Fig. N°12):
Entendiendo la carga distribuida axial o longitudinal |
El peso propio de un objeto puede ser representado como una carga distribuida que actúa verticalmente hacia abajo. Las cargas que actúan sobre una viga de un edificio suelen representarse como cargas distribuidas uniformes o rectangulares. Estas cargas actúan de manera perpendicular a la superficie de aplicación. No obstante, también tenemos otro tipo de cargas distribuidas no muy estudiadas en ingeniería, que al mismo tiempo son comunes en la naturaleza.
La fuerza de fricción suele estudiarse en cursos de Física básica como una fuerza puntual que actúa en contra del movimiento cuando un objeto (modelado como partícula) es empujado en una superficie con roce. Si nos salimos del modelo de partícula, podríamos tomar en cuenta las dimensiones del objeto y en vez de obtener una fuerza puntual de roce, obtener una carga distribuida que represente a la fricción sobre la longitud de contacto del objeto con la superficie donde se encuentra.
En este sentido, en la Estática de las Estructuras, podríamos definir a la carga distribuida axial como una carga que actúa a lo largo de un elemento lineal (barra de un sistema isostático) en dirección colineal o longitudinal a este. Sería el equivalente a la fricción que se da entre dos superficies, solo que, en este caso la carga distribuida axial actúa intentando generar tracción o compresión en la barra.
La carga distribuida axial tal como la hemos visto, puede ser uniforme, triangular o incluso trapezoidal. Para visualizar mejor esto, podemos hacer la analogía con un cuerpo de diferentes formas el cual está siendo empujado a lo largo de una superficie plana con fricción (Fig. N°13).
De esta manera, se visualiza mejor la forma de la carga distribuida axial ya que su representación con flechas paralelas y alineadas dificulta distinguir si esta es uniforme o presenta variación lineal. Siempre debemos tener presente que la forma de la carga distribuida axial es semejante a la forma de la carga distribuida que la origina.
Hasta aquí hemos llegado con la proyección de reacciones y cargas externas al sistema local, teniendo ya el terreno preparado para la elaboración de los Diagramas de Solicitaciones de sistemas isostáticos, los cuales empezaré a abordar en la próxima entrada sobre la Estática Aplicada, con el objetivo de seguir compartiendo a través de la plataforma Hive contenido académico de gran utilidad que pueda ser aprovechado para elevar el nivel de conocimiento en el caso de esta asignatura la cual posee pocas fuentes disponibles para garantizar una práctica satisfactoria por parte de los estudiantes.
Conclusiones |
•Las cargas externas deben ser proyectadas al sistema local de la barra donde se aplica, ya que son sus componentes en la dirección “N” (axial) y “V” (cortante) las que nos interesan para la elaboración de los Diagramas de Solicitaciones en el plano (fuerza axial, fuerza cortante y el momento flector).
•Es recomendable proyectar las fuerzas puntuales y las cargas distribuidas al sistema local mediante la relación de las componentes “N” y “V” de la fuerza o carga con la pendiente de la barra en vez de utilizar directamente las identidades trigonométricas, ya que así se obtiene mayor efectividad en el procedimiento y permite incluso establecer una ecuación útil siempre que la barra sea inclinada y la carga externa horizontal o vertical.
•La importancia de efectuar con presteza este “procedimiento intermedio” radica en que ello conlleva a obtener resultados correctos en los diagramas de solicitaciones y pasar con mayor efectividad del despiece del sistema a la elaboración de estos diagramas. El estudiante debe aprender a manejar estos cálculos y adquirir sensibilidad respecto a los resultados antes de proceder al uso de programas computacionales que permiten obtener resultados con relativa facilidad y rapidez.
Referencias Bibliográficas |
[1]Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 112-114).Fuente
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•Estática Aplicada: los Vínculos y su Aplicación a Sistemas Estructurales en la Realidad
•Cálculo de reacciones externas mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos
•Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil
•Abordaje sobre las Ecuaciones de Condición en Sistemas Isostáticos
•Metodología para el cálculo de reacciones externas en Sistemas Isostáticos
•Estática Aplicada: transformación de reacciones al sistema local en barras inclinadas
Imágenes y ecuaciones de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y Microsoft PowerPoint.
Publicado mediante STEM.OpenHIVE
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