Saludos comunidad de #stem-espanol y #steemstem, quiero contribuir con este post dedicado a una asignatura de ingeniería bastante especial por su importancia en la Ingeniería Civil como base para el diseño estructural. En mi universidad esta asignatura es un universo en sí, un universo que esta poco representado en libros o incluso difícil de hallar en el propio internet, por ello quiero contribuir mediante esta y otras publicaciones con el objetivo de crear una referencia dedicada a aquellos estudiantes que en el futuro busquen y consigan información más detallada de la Estática Aplicada explicada de la manera más didáctica posible.
Todo el material de la asignatura en el siguiente enlace:
•Material completo de Estática Aplicada
Introducción
Se define Estática como la rama de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos rígidos. En Ingeniería Civil, el estudio de los Sistemas Estructurales requiere poseer una base teórica-practica de los conceptos de la Mecánica Estática para así lograr un mejor entendimiento de los problemas asociados al análisis de las Estructuras. Si llevamos esto a la práctica, se tiene que esta rama de la Mecánica es en efecto una introducción al Análisis Estructural, es útil también en muchas aplicaciones de la Ingeniería Mecánica, en Geotecnia se aplica al estudio de estabilidad de masas de suelo en taludes, y en muchas otras áreas de la Ingeniería. Para su mejor comprensión, es necesario conocer ciertos conceptos fundamentales como lo son el de cuerpo rígido, grados de libertad, equilibrio estático y vínculos.
Cuerpo Rígido (Chapa)
Un cuerpo rígido se puede definir como un sistema de puntos materiales vinculados entre sí por condiciones de rigidez [1]. Esta es la definición básica de un cuerpo rígido, un conjunto infinito de puntos que unidos entre si logran conformar un cuerpo, los cuales están unidos uno de otro bajo total restricción de movimiento. Es decir, la distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido permanece constante o inalterable si el mismo sufre un movimiento cualquiera o es sometido a cualquier conjunto de fuerzas externas.
Para el caso de cuerpos rígidos definidos en el plano, donde una de las dimensiones es despreciable o pequeña en comparación a las otras dos, se le da el nombre de chapa al cuerpo rígido. En Estática Aplicada se estudia el equilibrio de cuerpos rígidos en el plano (chapas) de manera que mediante superposición de efectos se logre entender mejor el equilibrio de cuerpos en el espacio.
Veamos cómo se aplica este concepto de cuerpo rígido a una chapa:
. Se observa en la Figura N°1 que antes y luego del movimiento de la chapa, la distancia entre los puntos A y B sigue siendo la misma, es decir AB=A’B’. En este caso la chapa se trasladó, es decir, si el punto “A” se desplazó de “A” hasta “A’”, entonces el desplazamiento de otro punto “B” de la misma chapa debe ser paralelo al desplazamiento del punto “A”. Si existiese rotación de la chapa, la distancia AB de igual manera no sería afectada al ser la chapa un cuerpo rígido.
La aplicación de cualquier carga externa “q(x)” no genera deformaciones en la chapa, es decir, no importa la magnitud ni la forma en que se aplica una fuerza externa sobre la chapa, la distancia “AB” permanece invariable.
Como resultado, tenemos una hipótesis base para la resolución y entendimiento de cualquier problema relacionado a la estática de cuerpos rígidos: las chapas son elementos indeformables, sin importar si presentan movimiento o si existen fuerzas externas aplicadas sobre ellas.
Si bien esto no es cierto en la vida real donde todo material puede deformarse o romperse ante un esfuerzo aplicado, es una hipótesis que se aplica debido a que la estática estudia el equilibrio de los cuerpos rígido y no sus deformaciones porque no tienen (son rígidos), esta suposición facilita el entendimiento y análisis de muchos problemas asociados a la Estática de cuerpos rígidos. Las deformaciones se empiezan a estudiar en los cursos de Resistencia de Materiales y Estructuras.
Otro concepto muy importante son los Grados de Libertad.
Grados de Libertad
Los grados de libertad se pueden definir como el número de coordenadas generalizadas necesarias para poder describir la configuración de un sistema material [2]. En otras palabras, son los parámetros independientes necesarios para describir la posición de un cuerpo rígido en el plano o en el espacio. Por ejemplo, un punto en el plano tiene dos coordenadas que describen su posición, es decir, tiene dos grados de libertad, ya que así como podemos usar sus coordenadas para definir su posición, las mismas son indicadoras de las posibilidades de movimiento que tiene el mismo (se asume que el punto no puede rotar sobre sí mismo). De esta manera cuando se tiene un cuerpo rígido (chapa), se pueden conocer en cualquier instante las posiciones de las partículas (puntos materiales que lo conforman) del mismo si se conocen los parámetros que definen las posiciones de dos puntos sobre la misma. Veamos la Figura N°2.
. Podemos ver que la distancia “d” será siempre constante al ser la chapa un cuerpo rígido, por lo que se puede demostrar fácilmente mediante el Teorema de Pitágoras:
(Ec. 1) Conocida la distancia “d”, entonces en la (Ec. 1) solo hay tres variables que una vez conocidas dan por resuelta la ecuación, ya que se encuentra la variable restante mediante despeje. De igual manera conociendo el ángulo que forma la recta AB con la horizontal, se conocen los demás parámetros mediante relaciones trigonométricas. De esta forma podemos definir la configuración de la chapa en cualquier instante mediante tres parámetros cualesquiera que involucran tanto las coordenadas de los puntos o un ángulo.
Ya que una chapa requiere de tres parámetros para definir su posición en el plano en cualquier instante, entonces la misma posee tres posibilidades de movimiento, los cuales son traslación (desplazamiento) paralelo a dos ejes ortogonales y una rotación. Cabe destacar que una chapa puede presentar tres tipos de movimiento: traslación pura (desplazamiento en línea recta hacia cualquier dirección), rotación pura y el movimiento general (la combinación de ambas).
Ya que este concepto puede ser un poco abstracto, podemos darle esta definición más desglosada a los “GL”: número de desplazamientos y rotaciones independientes de un sistema material. De esta forma un “GL” será aquella rotación o desplazamiento que no dependa de ninguna otra rotación o desplazamiento. Ahora ¿Cuando un movimiento (desplazamiento o rotación) es dependiente de otro? Más adelante entenderemos esto mejor.
Así entonces, un punto material “P” en el plano tendrá 2 GL.
. Un punto material en el espacio tendrá 3 GL.
. Una chapa (lámina plana) en el plano tendrá 3 GL.
. Una chapa en el espacio tendrá 6 GL, al igual que un cuerpo rígido tridimensional.
Así que básicamente, los GL son las posibilidades de movimiento a través de dos o tres ejes ortogonales, esto abarca tanto desplazamiento como rotación. Para el caso de un punto material, se dice que el mismo no posee la posibilidad de rotar.
Equilibrio de Cuerpos Rígidos
Una chapa en el plano no está en equilibrio, ya que tiene 3 posibilidades de movimiento como vimos anteriormente. Por lo tanto, para equilibrar o restringirle a una chapa la posibilidad de moverse respecto al sistema tierra (cuerpo rígido infinito que se fija como referencia) se deben adicionar a la misma Vínculos.
Vínculo
Un vínculo se define como toda condición geométrica que restringe el movimiento de los cuerpos [2]. Son la idealización de restricciones que se le puedan añadir a una chapa para imposibilitar su movimiento total o parcialmente. En la Figura N°6 se observan algunos de los vínculos más comunes.
. Todo vínculo que restringe el movimiento de una chapa respecto al sistema tierra se clasifica como vínculo externo. Usualmente se representa la “chapa tierra” o “lámina tierra” mediante líneas diagonales adyacentes al vínculo externo.
Ahora, para equilibrar una chapa la cual posee 3 GL, se deben añadir 3 Unidades de Vinculación (UV). Una unidad de vinculación es la restricción de un grado de libertad, bien puede ser una rotación o un desplazamiento. Cada vínculo posee un número determinado de unidades de vinculación dependiendo de las posibilidades de restricción del mismo.
La forma más “elemental” de equilibrar o imposibilitar el movimiento de una chapa en el plano es añadiendo los siguientes vínculos externos: una articulación fija y un apoyo simple. Estos son los vínculos más comunes en el estudio de las estructuras. Los grados de libertad de una chapa a la cual se le agregan vínculos externos se pueden expresar como:
Para entender el funcionamiento de estos vínculos, veamos cual es su efecto en una chapa:
Articulación Fija
Una articulación fija restringe el desplazamiento en ambas direcciones ortogonales, y permite la rotación, de manera que la misma provee dos unidades de vinculación y la chapa de la siguiente ilustración tendría 3-2=1 GL, es decir, una sola posibilidad de movimiento: la rotación (en verde).
. Apoyo simple (rodillo o articulación móvil)
Veamos ahora el apoyo simple, este vínculo restringe un desplazamiento, permite la rotación y el desplazamiento perpendicular al desplazamiento restringido, de manera que posee 1 unidad de vinculación (UV). Existen varias formas de representar el apoyo simple, pero la forma más usual es el “rodillo”. En la siguiente ilustración, se añadieron dos apoyos simples a la chapa, por lo que la misma tendría 3-1-1=1 GL.
. ¿Por qué un grado de libertad? Todos los desplazamientos de la chapa pueden ser expresados en función de una rotación única que sufre la misma alrededor de su polo o centro instantáneo de rotación “O”, el cual es el punto sobre el cual la chapa gira en un instante dado, tal como se muestra en la Figura N°8.
. El polo o centro de rotación “O” se puede hallar trazando rectas perpendiculares a la dirección de desplazamiento de dos puntos cualesquiera “1” y “2”, la intersección será la ubicación de “O”. Se observa que se generan dos triángulos rectángulos. En un instante dado, la chapa sufre rotación pura alrededor de su polo “O”, ya que el ángulo de rotación es único para la chapa y la magnitud de los desplazamientos depende de la magnitud de la rotación, entonces se puede escribir la siguiente expresión:
(Ec. 3) En la (Ec. 3) observamos que solo con conocer la magnitud de uno de los desplazamientos o de la rotación podemos determinar los restantes parámetros, dicho de otra manera se pueden escribir todos los movimientos de la chapa en función de un solo parámetro independiente. Por consiguiente podemos ver que la chapa mostrada a la cual se le agregaron dos vínculos externos simples, tiene un grado de libertad, es decir, se puede describir su movimiento mediante un solo parámetro.
Si todos los desplazamientos de los puntos de una chapa resultasen ser paralelos, entonces las rectas perpendiculares se interceptarían en el infinito, por lo tanto el polo “O” se encontraría en el infinito y se dice que la chapa presenta traslación pura.
Ahora volviendo al punto, al colocar una articulación fija y un apoyo simple a una chapa en el plano, se obtiene:
. De esta forma, según se ve en la Figura N°9, la chapa está equilibrada, no tiene posibilidad de movimiento.
Empotramiento
Otra forma de restringir el movimiento de la chapa respecto a tierra es “empotrándola” a la misma, es decir mediante un vínculo único podemos restringir ambos desplazamientos ortogonales y la rotación añadiendo las 3 unidades de vinculación correspondientes. Este vínculo se denomina comúnmente “empotramiento”. Veamos su representación en la Figura N°10.
. Ya podemos imaginarnos que existen muchas combinaciones de vínculos posibles para equilibrar una chapa en el plano dependiendo de qué vínculo se use y como se coloque. La posición o ubicación de estos vínculos usados para equilibrar la chapa es aleatoria, pero hay que tener mucho cuidado de no introducir un Vínculo Aparente.
Vínculo Aparente
. Un vínculo aparente es aquel que no está añadiendo o introduciendo ninguna unidad de vinculación debido a su posición o ubicación. En otras palabras está mal puesto. Por ejemplo en la Figura N°11, la articulación fija permite a la chapa rotar alrededor del punto A, y el rodillo en B está restringiendo un desplazamiento que ya está siendo restringido por la articulación y no está restringiendo el desplazamiento perpendicular a la dirección AB, es decir, el rodillo no está haciendo nada para impedir la rotación en A (se puede remover y la chapa seguiría rotando alrededor del punto A) y la chapa se le están añadiendo solo las 2 UV correspondientes a la articulación fija, por lo tanto la chapa tiene 1 GL. Para equilibrar la chapa bastaría cambiar la posición del rodillo de manera que el eje de restricción no coincida con el centro de la rotación, o bien, cambiar la ubicación del rodillo. En la Figura N°12 se optó por cambiar la posición del apoyo móvil.
. De esta manera se debe tener en cuenta que para garantizar el equilibrio de un cuerpo rígido, el hecho de que la Ec. 1 sea igual a cero es una condición necesaria pero no suficiente. El equilibrio estático se logra al verificar que existe el número adecuado de vínculos y que los mismos estén dispuestos de la manera adecuada. Cuando existe el número suficiente de vínculos para anular los grados de libertad pero uno o más de ellos está mal dispuesto, se denomina comúnmente esta situación como inestabilidad geométrica.
Aplicación de la Estática Aplicada en el Análisis Estructural
Podemos idealizar un elemento estructural unidimensional como por ejemplo una viga como un cuerpo rígido. Añadiendo 3 UV bien colocadas podemos llegar a la forma más simple de un sistema estructural: la “viga simplemente apoyada”.
. El sistema estructural mostrado en la Figura N°13 es la forma más simple de representar un cuerpo rígido en equilibrio estático, su estudio se extiende a lo largo de numerosas de aplicaciones en la Ingeniería Estructural por su simplicidad, algunas como el diseño del acero de refuerzo por flexión y corte en vigas de concreto armado y diseño de fundaciones para recipientes o tanques horizontales. La “viga simplemente apoyada” no solo es muy conocida por los Ingenieros Civiles, sino también es usada en Ingeniería Mecánica.
De igual manera mediante un vínculo de empotramiento podemos idealizar una viga en voladizo o “volado”, muy usado en el diseño estructural.
. ¿Dónde podemos encontrar el uso del “volado” en el diseño estructural? La Figura N°14 es usada en el diseño de vigas en voladizo, nervios de refuerzo en losas nervadas de balcones, incluso en el diseño por flexión del acero de refuerzo en zapatas de fundación.
Conclusión
Vemos como podemos llegar a establecer a través de un modelo teórico-matemático las herramientas para llegar a entender y manejar problemas de ingeniería. Estos conceptos que se aplican en el estudio de la Estática Aplicada son fundamentales para comprender los problemas relacionados con la misma y de temas más avanzados de Análisis Estructural.
Material consultado:
El presente post fue elaborado consultando la siguiente bibliografía:
[1] Hernández, Suilio. (1998). Estática Aplicada. Folleto Editado por el Departamento de Ingeniería Estructural U.C.V. Caracas. Páginas 1 y 5.
[2] Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. Páginas 2 y 10.
Imágenes creadas mediante LibreCAD y SketchUp. Ecuaciones creadas con Microsoft Word. Autor: