Saludos y bienvenidos a este blog dedicado al uso del programa SketchUp en la práctica de la Geometría Descriptiva. En esta ocasión, luego de abordados los poliedros radiales, regulares y partes de poliedros en las últimas dos publicaciones (poliedros radiales y poliedros regulares), ahora nos trasladamos al tema de los cuerpos redondos, los cuales son aquellos que poseen superficies no planas.

Todos conocemos algunos de ellos, como por ejemplo la esfera y el cono. En esta publicación estaré abordando el modelado tridimensional de estos cuerpos redondos mediante el programa SketchUp, a manera estudiar sus características geométricas y familiarizarnos con su representación en el espacio previo a su representación en el plano mediante procedimientos constructivos de la Geometría Descriptiva que requieren mayor comprensión espacial y capacidad de abstracción.

Como siempre, destaco que programas como SketchUp son útiles para poner en práctica nuestra capacidad para comunicar ideas desde el punto de vista tridimensional, puesto que nos brinda la posibilidad de dar creación a cualquier objeto que nos imaginemos.

Cuerpos redondos

Los sólidos son cuerpos geométricos tridimensionales que existen en el espacio, los cuales se subdividen en dos tipos: poliedros y cuerpos redondos.

De acuerdo a Osers et al. (2001) los cuerpos redondos a su vez se clasifican en: reglados (simple curvatura); doble curvatura; y en partes de cuerpos redondos.

Estas tres clasificaciones de los cuerpos redondos a su vez se subdividen en diversas variantes, las cuales podemos apreciar en la siguiente Tabla.

Clasificación de los cuerpos redondos	Variantes
Reglados (curvatura simple)	•Desarrollables •Alabeados
Doble curvatura	•De revolución •No de revolución
Partes de cuerpos redondos	•Desarrollables •No desarrollables

^{Fuente: elaboración propia con información extraída de Osers et al. (2001).}

Algunas variantes de cuerpos redondos no serán abordadas en la presente publicación, específicamente los cuerpos Alabeados y los de Doble curvatura-No de revolución, puesto que sus complejidades desde el punto de vista tridimensional dificultan su modelado, haciéndolos muy poco prácticos para los fines que se buscan.

Antes de proceder con el modelado de los cuerpos redondos seleccionados, debemos conocer sus elementos.

Tenemos dos elementos cuya definición puede ser un poco abstracta, puesto que más representar una parte específica del cuerpo, son un par de líneas genéricas: una es una línea que se “mueve” para generar las superficies curvas del cuerpo redondo; y la otra sirve de “guía” a esta última. La primera se denomina generatriz y la segunda directriz.

Lo anterior se puede ilustrar en el caso más sencillo: el cilindro (ver imagen siguiente).

Podemos ver que una generatriz sería cualquier línea recta perteneciente a la superficie curva del cilindro, en los cuerpos redondos de revolución todas las generatrices son equidistantes del eje. La directriz sería la circunferencia sobre la cual se apoya la generatriz para generar la superficie curva del cilindro.

La cúspide es la unión de todas las generatrices en un solo punto, como es en el caso del cono.

El eje es la recta que va desde el centro de la base hasta el centro de la cara superior (cilindro) o la cúspide (cono). En el caso de la esfera, no existe un solo eje definido, cualquier recta que pase por su centro geométrico puede ser un eje.

La noción de generatriz, directriz y eje, nos ayudará a modelar los cuerpos redondos más adelante mediante el programa SketchUp.

Uso del programa SketchUp

Para configurar SketchUp y obtener una mejor visualización de lo que se modela recomiendo seguir las instrucciones de mi anterior post.

Empezaremos con los cuerpos redondos-reglados-desarrollables de revolución los cuales serían el cono y el cilindro.

Cuerpos redondos-reglados (simple curvatura)-desarrollables

Cono

Para empezar, crearemos una circunferencia de radio cualquiera mediante la herramienta “Círculo”.

Luego, crearemos un triángulo rectángulo, el cual posee su ángulo recto en el centro de la circunferencia (el cual se podrá seleccionar al pasar el cursor sobre el), y posee una altura dada, que será la altura del cono y cuyo cateto inferior va desde el centro del círculo base hasta cualquier punto del borde de dicho círculo.

Se selecciona el área del círculo inferior (o también puede ser su circunferencia), y luego se selecciona la herramienta “Sígueme”. Seguidamente se hace click en cualquier punto dentro del área del triángulo. De esta manera, automáticamente se ha generado el cono.

Podemos ver que el triángulo que se creó en el segundo paso nos sirvió de generatriz, mientras que la circunferencia base sirvió de directriz.

La herramienta “Sígueme” sirve para extruir una superficie, ordenándola a que siga una trayectoria dada. Al seleccionar previamente la base inferior circular, el programa SketchUp reconoce este elemento como directriz de la superficie a extruir mediante esta herramienta, en este caso, el triángulo rectángulo sería la superficie que seguirá esta directriz para generar el cono.

Cilindro

Al igual que el prisma en la anterior publicación sobre los poliedros radiales, el cilindro es realmente sencillo de modelar, solo se debe crear un círculo que servirá de base, y luego se extruye verticalmente mediante la herramienta “Sígueme” para crear el cilindro.

Hasta ahora abordamos los cuerpos redondos-reglados-desarrollables rectos, si nos interesan los que son oblicuos, solo deberemos realizar una pequeña modificación al cono y al cilindro recto: desplazar la cúspide/base superior.

Cuerpos redondos-doble curvatura-de revolución

Estos cuerpos redondos, en palabras sencillas, son cuerpos en el espacio que poseen superficies con curvaturas en más de una dirección. Un par de ejemplos característicos son la esfera y el elipsoide (similar a un balón de futbol americano).

El cilindro y el cono poseen curvatura simple porque la misma se presenta en solo una dirección, siendo posible hallar generatrices rectilíneas en la dirección perpendicular.

Por otro lado, la esfera y el elipsoide posee curvatura en cualquier dirección de su superficie, haciendo que cualquier línea recta solo pueda ser tangente o secante a la misma.

Estos cuerpos redondos son de revolución porque se pueden generar a través del giro de una línea curva a través de una generatriz curva. Existen cuerpos redondos de doble curvatura que no son de revolución, un ejemplo sería la espiral.

Nos concentraremos solamente en la esfera y el elipsoide, ya que estos son los más usuales y prácticos en el ámbito de la geometría descriptiva, siendo el paraboloide e hiperboloide más estudiados en la geometría analítica y el cálculo.

Esfera

Aunque pueda parecer complicado crear una esfera, es realmente sencillo crear una mediante el programa SketchUp.

Primero, crearemos una circunferencia y un triángulo (al igual que se hizo con el cono). No es estrictamente necesario crear un triángulo, lo importante es conseguir una superficie que sea perpendicular al plano del círculo y que pase por su centro.

Luego crearemos otro círculo, pero en este caso, debemos asegurarnos que el círculo sea coplanar a la superficie del triángulo o superficie que hallamos creado. Este círculo puede ser de cualquier tamaño, pero es recomendable que sea de mayor diámetro que el primer círculo. Llamaremos a este segundo círculo nuestra “directriz”.

Procedemos a borrar cualquier línea y superficie que no sea el círculo inicial y el segundo círculo creado.

Luego, al igual que como se hizo con el cono, seleccionaremos el círculo directriz y mediante la herramienta “Sígueme”, hacemos click en el área del círculo inicial. Nuestra esfera es creada. Este proceso se ilustra en la siguiente imagen:

El radio del círculo inicial se puede introducir, para así obtener una esfera de igual radio.

Elipsoide

Se podría realizar algo similar al procedimiento de la esfera, pero nuestro círculo directriz tendría que seguir la forma de una elipse. Lo más práctico y sencillo, sería crear una esfera y a partir de ella llegar al elipsoide. Esto lo podemos realizar mediante la herramienta “Escala”.

La herramienta “Escala” nos permite tomar un objeto ya creado y ampliar o reducir sus dimensiones en una dirección específica, sin alterar las dimensiones en las otras direcciones, tal como se ilustra en la siguiente imagen:

_{Se altera la dimensión vertical de la esfera mediante la herramienta “Escala”.}

Podemos también alterar una de las dimensiones horizontales:

_{Reduciendo la escala en dirección horizontal.}

De esta manera, obtenemos un elipsoide. Cabe destacar que es posible establecer un factor de escala para cada una de estas modificaciones en las dimensiones de un objeto, es decir, si la esfera inicial posee un diámetro de 10 unidades, se puede establecer un factor de escala en dirección vertical de 0.80 para obtener un elipsoide cuyo diámetro menor en vertical sea de 8 unidades.

Partes de sólidos redondos

Las partes de sólidos redondos constituyen algunos cuerpos geométricos que no pueden clasificarse como reglados (curvatura simple), de doble curvatura o de revolución. Son una porción de otros sólidos redondos como el cono, el cilindro o la esfera.

Cono o cilindro truncado

Sea cono o cilindro, el proceso de truncado es el mismo. Debemos seguir el mismo procedimiento que planteé en mi publicación sobre los poliedros radiales, en donde se realizó el truncado de la pirámide y el prisma mediante la herramienta “Plano de sección”.

Luego de colocado el plano de sección, es posible girarlo para crear una superficie de truncado inclinada tal como se ve en la imagen anterior. Posteriormente, mediante click derecho en el plano de sección se selecciona “crear grupo de corte” para crear un grupo de líneas que conformen la sección de corte.

Eliminaremos el plano de sección, y posteriormente haremos click derecho sobre el grupo de líneas creado y seleccionaremos “explotar” para transformar el grupo de líneas en segmentos individuales que conforman el borde de la cara superior.

Eliminaremos la parte superior del cono y ya tendremos creado nuestro cono truncado. La cara superior quedará “hueca” por lo que deberá crearse esta remarcando uno de los segmentos de recta que la conforma.

Casquete esférico

El proceso para crear un casquete esférico es similar al de crear una esfera, pero se deberá modificar el área del círculo a extruir mediante la herramienta “Sígueme”. El casquete esférico es una esfera a la cual le falta una porción dada por un corte plano dado en alguna zona de ella.

Se deberá crear una línea recta paralela al círculo directriz (o aproximadamente paralela, el programa igualmente generará una superficie plana paralela al círculo directriz). Luego se extruye la superficie mediante la herramienta “Sígueme” de igual manera que como se hizo anteriormente con la esfera.

Segmento esférico

El segmento esférico es similar al casquete esférico, pero no posee solo un corte plano sino dos, los cuales son paralelos entre sí. El proceso para crear este cuerpo redondo es igual al del casquete esférico, pero en este caso, se crearán dos líneas rectas a cada lado del círculo directriz.

En la imagen anterior vemos un cuerpo que es parte de una esfera. Si queremos parte de la superficie de la esfera, solo debemos eliminar las caras planas y quedarnos con la superficie del segmento esférico, también llamada zona esférica (similar a un anillo). Esto se ve en la siguiente imagen.

Sector esférico

Como hemos venido observando, las partes de la esfera se han creado modificando el área del círculo a extruir. En este caso, el sector esférico es una porción de la esfera que se da de manera radial y abarca cierto ángulo desde el centro geométrico de la misma. Un objeto común al cual podría hacerse la analogía es un trompo.

Para crear el sector esférico trazaremos dos líneas desde el centro del círculo a extruir, las cuales se van separando hasta llegar al borde de dicho círculo, luego eliminamos el resto del círculo para quedarnos con la porción que nos interesa. Esta porción es extruida alrededor del círculo directriz mediante la herramienta “Sígueme”.

_{Sector esférico. Se ha modificado su tamaño para mejor apreciación.}

Aportes de esta publicación

Se observó como a través de las herramientas del programa SketchUp se modelaron distintos sólidos redondos, lo cual nos ayuda a poner en práctica nuestra capacidad para crear objetos con la ayuda de nuestro ingenio y teniendo como base los conocimientos y conceptos extraídos de la Geometría Descriptiva. Una vez consolidada la teoría y práctica en la creación de los sólidos desde el punto de vista tridimensional, es posible llevar esta práctica al plano para mediante los procedimientos constructivos representar estos sólidos en la doble proyección ortogonal teniendo ya una mejor noción espacial de lo que se va a describir.

En la siguiente publicación, abordaré la representación en el plano (doble proyección ortogonal) de los sólidos, específicamente los poliedros, y veremos cómo podemos ayudarnos del programa SketchUp para facilitar dicha tarea y lograr sortear los procedimientos constructivos necesarios mediante un punto de vista tridimensional de la situación.